宏观和微观.docx

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宏观和微观

【例1】（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。

⑴一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e。

该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v。

（a）求导线中的电流I；

（b）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安=F。

⑵正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。

为简化问题，我们假定：

粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。

利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系（重力忽略不计，不计粒子间的相互作用）。

（注意：

解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

【例2】（20分）

导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定与水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度υ做匀速运动，速度υ与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合回路．已知导线MN电阻为R，其长度l恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B．忽略摩擦阻力和导线框的电阻．

（1）通过公式推导验证：

在Δt时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电，也等于导线MN中产生的焦耳热Q；

（2）若导线MN的质量m=8.0g，长度L=0.10m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率υe（下表中列出一些你可能会用到的数据）；

（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式．

阿伏伽德罗常数NA

6.0×1023mol-1

元电荷e

1.6×10-19C

导线MN的摩尔质量μ

6.0×10-2kg/mol

【例3】

如图19所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。

金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好。

金属棒ab、cd的质量均为m，长度均为L。

两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。

金属棒ab的电阻为2R，金属棒cd的电阻为R。

整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。

（1）若保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平恒力F作用下，沿轨道以速度v做匀速运动。

已知电源电动势等于电源提供的电能与通过电源的电荷量的比值，即E=

。

试从能量的角度推导论证：

金属棒cd的感应电动势E=BLv；

（2）导体内部自由电子的定向运动形成电流，当电流不变时，宏观上可以认为导体内的自由电子的定向运动是匀速率的。

设电子的电荷量为e，求金属棒cd中自由电子沿导线长度方向受到的平均阻力f；

【例4】（20分）

（1）如图1所示，固定于水平面上的金属框架abcd，处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动。

框架的ab与dc平行，bc与ab、dc垂直。

MN与bc的长度均为l，在运动过程中MN始终与bc平行，且与框架保持良好接触。

磁场的磁感应强度为B。

a.请根据法拉第电磁感应定律

，推导金属棒MN中的感应电动势E；

b.在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关。

请根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E。

（2）为进一步研究导线做切割磁感线运动产生感应电动势的过程，现构建如下情景：

如图2所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，一内壁光滑长为l的绝缘细管MN，沿纸面以速度v向右做匀速运动。

在管的N端固定一个电量为q的带正电小球（可看做质点）。

某时刻将小球释放，小球将会沿管运动。

已知磁感应强度大小为B，小球的重力可忽略。

在小球沿管从N运动到M的过程中，求小球所受各力分别对小球做的功。

【例5】一段横截面积为S的直金属导线，单位体积内有n个自由电子，电子的质量为m，电子的电荷量为e。

该导线通有电流时，电子定向运动的平均速度用v表示。

（1）求导线中的电流I。

（2）按照经典理论，电子在金属中运动的情形是这样的：

在外加电场（可通过加电压实现）的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流。

电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子（微观上使其热运动更加剧烈，宏观上产生了焦耳热），而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（为简化问题，我们假定：

电子沿电流方向做匀加速直线运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。

电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示。

请从宏观和微观相联系的角度，结合能量转化的相关规律，求金属导体的电阻率。

【例6】

按照经典的电磁理论，电子在金属中运动的情形是这样的：

在外加电场的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流。

电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子，而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（可看作匀加速运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。

电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用

表示。

电子运动的平均速度用

表示，导体单位体积内自由电子的数量为n，电子的质量为

，电子的电荷量为

，电流的表达式I=nes

。

请证明金属导体的电阻率

=

。

证明：

导体中电流强度的微观表达式为：

I=nes

根据电阻定律：

R=

根据欧姆定律：

R=

自由程内，电子在加速电场作用下，速度从0增加到

，由动能定理：

eU=

又由于

，可得出电阻率

的表达式为：

=

【例7】下面请根据以下微观模型来研究焦耳热，设有一段横截面积为S，长为l的直导线，单位体积内自由电子数为n，每个电子电量为e，质量为m。

在导线两端加电压U时，电子定向运动，在运动过程中与金属离子碰撞，将动能全部传递给离子，就这样将由电场得到的能量变为相撞时产生的内能。

“金属经典电子论”认为，电子定向运动是一段一段加速运动的接替，各段加速都是从定向速度为零开始。

根据统计理论知，若平均一个电子从某一次碰撞后到下一次碰撞前经过的时间为t，一秒钟内一个电子经历的平均碰撞次数为

，请利用以上叙述中出现的各量表示这段导体发热的功率P。

【例8】（20分）超导现象是20世纪人类重大发现之一，日前我国己研制出世界传输电流最大的高温超导电缆并成功示范运行。

（l）超导体在温度特别低时电阻可以降到几乎为零，这种性质可以通过实验研究。

将一个闭合超导金属圈环水平放置在匀强磁场中，磁感线垂直于圈环平面向上，逐渐降低温度使环发生由正常态到超导态的转变后突然撤去磁场，若此后环中的电流不随时间变化，则表明其电阻为零。

请指出自上往下看环中电流方向，并说明理由。

（2）为探究该圆环在超导状态的电阻率上限ρ，研究人员测得撤去磁场后环中电流为I，并经一年以上的时间t未检测出电流变化。

实际上仪器只能检测出大于ΔI的电流变化，其中

，当电流的变化小于ΔI时，仪器检测不出电流的变化，研究人员便认为电流没有变化。

设环的横截面积为S，环中定向移动电子的平均速率为v，电子质量为m、电荷量为e．试用上述给出的各物理量，推导出ρ的表达式。

（3）若仍使用上述测量仪器，实验持续时间依旧为t，为使实验获得的该圆环在超导状态的电阻率上限ρ的准确程度更高，请提出你的建议，并简要说明实现方法。

【解析】

（1）逆时针方向。

撤去磁场瞬间。

环所围面积的磁通量突变为零，由楞次定律可知，环中电流的磁场方向应与原磁场方向相同，即向上。

由右手螺旋定则可知，环中电流的方向是沿逆时针方向。

（2）设圆环周长为l、电阻为R，由电阻定律得

设t时间内环中电流释放焦耳热而损失的能量为

，由焦耳定律得

设环中单位体积内定向移动电子数为n，则

式中n、e、S不变，只有定向移动电子的平均速率的变化才会引起环中电流的变化，电流变化大小取

时，相应定向移动电子的平均速率的变化得大小为

，则

设环中定向移动电子减少的动能总和为

，则

由于

，可得

根据能量守恒定律，得

联立上述各式，得

（3）由

看出，在题设条件限制下，适当增大超导电流，可以使实验获得

的准确程度更高，通过增大穿过该环的磁通量变化率可实现增大超导电流。