小学奥数工程问题题型大全含答案.doc
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奥数之工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
工程问题方法总结：
一：
基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：
基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：
基本方法：
算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法
四：
基本思想：
分做合想、合做分想。
五：
类型与方法：
一：
分做合想:
1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。
二：
按劳分配思路：
每人每天工效→每人工作量→按比例分配
三：
休息请假：
方法：
1.分想：
划分工作量。
2.假设法：
假设不休息。
3.方程法
四：
周期工程
休息与周期：
1.已知条件的顺序：
①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2..天数：
①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
交替与周期：
估算周期，注意顺序！
注水与周期：
1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
五：
工效变化。
六：
比例：
1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想（周期）。
七：
牛吃草问题：
1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
一、用“组合法”解工程问题
专题简析：
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量－×3＝，从而求出甲队的工作效率。
所以
1÷【－（－×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：
乙队单独完成全部工程需要20天。
边讲边练：
1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。
师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的。
如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。
如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的。
甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。
先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的。
甲、乙两队独做各需几天完成？
例题2：
一项工程，甲队独做12天可以完成。
甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的。
现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。
做完后发现两段所用时间相等。
求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：
（－×3）÷2＝；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的
（－×3）÷2＝
（2）两段时间一共是
1÷（×2+）×2＝6（天）
答：
两段时间一共是6天。
边讲边练：
1、一项工程，甲队独做15天完成。
若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的。
现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。
做完后发现，两段时间相等。
这两段时间一共是几天？
2、一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。
乙独做这项工程要几天完成？
3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。
这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。
终于完成了这一工作。
问总共用了多少天？
例题3：
移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。
共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
（1－－×1）÷（3－1）＝
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【－（－）】＝112（棵）
答：
共要移栽西红柿苗112棵。
边讲边练：
1、加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。
先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的。
已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。
这批零件共有多少个？
2、修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。
先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的没有修。
已知甲队每天比乙队多修20米。
这条公路全长多少米？
3、修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。
两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。
这段公路全长多少米？
例题4：
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。
如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。
如果由甲、丙合做，需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。
同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
（－×2）÷（6－2）＝
丙每小时完成这项工程的几分之几
（－×3）÷（6－3）＝
甲、丙合做需完成的时间为：
1÷（+）＝7（小时）
答：
甲、丙合做完成需要7小时。
边讲边练：
1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。
如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。
这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。
现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。
乙独做这项工程要几天就可以完成？
3、一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。
现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5天完成。
乙队单独做这项工程需多少天可以完成？
4、一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。
现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。
乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题5：
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。
先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。
如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。
”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（+）】×（4+7）＝
三队合修完成时间为
1÷（++）＝10（天）
答：
10天可以完成。
边讲边练：
1、一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。
现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。
这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？
3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。
如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。
如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
4、一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。
这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。
甲队独做这项工程需要多少天？
答案：
练1
1、1÷【（－）÷（3－1）】＝30天
2、乙：
1÷【（－×2）÷（3－2）】＝8天
甲：
1÷（－）＝12天
3、乙：
1÷【（1－－×8）÷（12－8）】＝60天
甲：
1÷（－）＝30天
练2
1、乙队的工作效率：
（－×5）÷4＝
总共的天数：
1÷（+×2）×2＝12天
2、1÷【（1－×6）÷3】＝12天
3、甲做的天数：
1÷（+×3+×3×2）＝2天
总共的天数：
2+2×3+2×3×2＝20天
练3
1、师傅每小时做这批零件的（－×6）÷（8－6）＝
这批零件共有10÷【－（－）】＝600个
2、甲队每天修这条公路的（1－－×3）÷（5－3）＝
这条公路全长多少米20÷【－（－）】＝600米
3、甲、乙两队工作效率的比是：
：
＝3：
5
这段公路的全长750÷（－）＝6000米
或750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000米
练41、甲队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝
丙队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝
甲、丙合做需要的时间1÷（+）＝6小时
2、乙队每天能做全工程的【1－（×3－×3）】÷（6－3）＝
乙队独做这项工程需要的时间1÷＝15天
3．乙队每天能做全工程的【1－（×4－×4）】÷（5－4）＝
乙队单独做这项工程需要的时间1÷＝15天
4、乙队的工作效率【1－（×2+×2）】÷（6－2－2）＝
乙独做这件工作需要的时间1÷＝20小时
练51、乙每小时做这件工程的（1－×4）÷（6+4）＝
甲、乙合做完成需要的时间1÷（+）＝6小时
2、甲、乙两队完成的工作量（+）×（8+2）＝
丙队单独挖需要的时间1÷【（1－）÷12】＝36天
3．乙的工作效率【1－（×3+×3）】÷（9－3－3）＝
丙的工作效率－＝
三人合做需要的时间1÷（+）＝5天
4、甲队的工作效率【1－×（12+15）】÷（24－15）＝
甲队单独做需要的时间1÷＝90天
二、特殊工程问题
专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：
修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。
则
1÷[+]÷6=4（天）
或1÷[（+）×6]=4（天）
答：
4天可以完成。
边讲边练：
1、修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。
现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。
现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？
3、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。
现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。
问：
后两天需要多少辆小板车？
例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。
中途丙转向帮助乙搬运。
最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。
总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
①三人同时搬运了
2÷（++）=8（小时）
②丙帮甲搬了
（1-×8）÷=3（小时）
③丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：
丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
边讲边练：
1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟每小时加工自己任务的。
师、徒同时开始加工。
师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。
甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。
中途甲又转向帮助丙搬运。
最后，两个仓库同时搬完。
甲帮助乙、丙各多少小时？
3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？
例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。
这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。
这件工作由甲先做了几天？
解法一：
根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：
设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
x+×（14-x）=1
X=5
解法二：
假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了÷=5（天）
练习3：
1、一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。
若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。
甲、乙两队各做了多少天？
3、一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。
求乙休息的天数。
例4：
甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。
中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。
如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：
先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。
最后求出甲单独做需要的天数。
①甲、乙同时做的工作量为×（10-3）＝
②乙单独做的工作量为1－＝
③乙的工作效率为÷3=
④甲的工作效率为－＝
⑤甲单独做需要的天数为1÷＝12（天）
解法二：
从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。
由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：
甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、甲、乙两人合作某项工程需要12天。
在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。
如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。
如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？
3、一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。
如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：
2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？
例5：
放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。
问：
同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2次。
如果+++再加一个，则是五个阀门各放3小时的总水量。
1÷[（++++）÷3]=1÷[÷3]=6（小时）
边讲边练：
1、完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。
甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
2、一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成，甲干5天、乙干3天可完成。
甲、乙合干需几天完成？
3、完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30小时。
甲、丁两人合作需几小时？
4、一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。
由第一小队单独干需要多少天？
答案：
练1
1、1÷（+）÷2＝7.5小时
2、1÷（×2+×7）＝3天
3、
（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1－（×2+×5+×7）×2＝
（2）后两天需要小板车：
÷（×2）＝15辆
练2
1、2÷（+）－10＝2小时
2、2÷（++）＝8小时
甲帮乙：
（1－×8）÷＝6小时
甲帮丙：
（1－×8）÷＝2小时
3、解法一：
12×（÷）÷（1－）＝240个
解法二：
12÷（8－5）×5×12＝240个
练3
1、（×6－1）÷（－）＝3天
2、甲：
（1－×35）÷（－）＝15天
乙：
35－15＝20天
3、40－（1－×40）÷＝25天
练4
1、5×【12÷（15－12）】＝20天
2、48－48÷30×20＝16条
3、2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5
1、1÷【（++）÷2】＝8小时
2、1÷【（+）÷（3+5）】＝9.6天
3、1÷（+－）＝21小时
4、1÷【（+++）÷3－】＝54天
三、周期工程问题
专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
例1：
一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。
若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
①需循环的次数为：
1÷（+）=＞7（次）
②7个循环后剩下的工作量是：
1-（+）×7=
③余下的工作两还需甲做的时间为：
÷=（小时）
④完成任务共用的时间为：
2×7+=14（小时）
答：
完成任务时需共用14小时。
边讲边练：
1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。
如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。
如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。
如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
例2：
一项工程，甲、乙合作26天完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。
根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。
竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
①甲每天能做这项工程的1÷26×=
②甲单独做完成的时间1÷=40（天）
答：
这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
边讲边练：
1、一项工程，乙单独做20天可以完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲独做几天可以完成？
2、一项工程，甲单独做6天可以完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才能完成。
这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3、一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。
如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。
如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完成。
这项工程由甲独做几小时可以完成？
4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。
单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。
现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
例3：
一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
已知甲、乙工作效率的比是5：
3。
甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。
根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。
竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：
60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：
60÷（5-3）×3=90（个）
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