北师大数学八年级上册第三章《平面直角坐标系》全章复习与巩固基础.docx

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北师大数学八年级上册第三章《平面直角坐标系》全章复习与巩固基础

《平面直角坐标系》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1.理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；

2.掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；

3.通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用（13，2000），（17，190），（21，330）…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：

（4，5），（20，12），（13，2），…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点诠释：

（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：

x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．

②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．

③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．

④象限角平分线上的点的坐标特征：

一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．

注：

反之亦成立．

（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

①坐标平面内点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．

②x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=|x1-x2|；

y轴上两点C（0，y1）、D（0，y2）的距离为CD=|y1-y2|．

③平行于x轴的直线上两点A（x1，y）、B（x2，y）的距离为AB=|x1-x2|；

平行于y轴的直线上两点C（x，y1）、D（x，y2）的距离为CD=|y1-y2|．

（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：

切割、拼补.

要点三、坐标方法的简单应用

1．用坐标表示地理位置

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

要点诠释：

（1）我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．

（2）确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．

2．用坐标表示平移

（1）点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：

在平面直角坐标中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））．

要点诠释：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．

（2）图形的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

要点诠释：

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：

“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

【典型例题】

类型一、有序数对

1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：

．例如把（3，-2）放入其中，就会有32+（-2）+1＝8，现将数对（-2，3）放入其中得到数m，再将数对（m，1）放入其中，得到的数是________．

【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入

求值即可．

【答案】66.

【解析】解：

将（-2，3）代入，

，得（-2）2+3+1＝8，

再将（8，1）代入，得82+1+1＝66，

故填：

66．

【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的数．

举一反三：

【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作（4，6），则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对（-2，-6）表示________．

【答案】（-5，3）；向西走2米，向南走6米.

类型二、平面直角坐标系

2.（滨州）第三象限内的点P（x，y），满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________．

【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值．

【答案】（-5，-3）.

【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P（x，y）在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为（-5，-3）．

【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

举一反三：

【变式1】（乐山）在平面直角坐标系中，点P（-3，4）到x轴的距离为（）．

A．3B．-3C．4D．-4

【答案】C.

【变式2】（长春）如图所示，小手盖住的点的坐标可能为（）．

A．（5，2）B．（-6，3）C．（-4，-6）D．（3，-4）

【答案】D.

类型三、坐标方法的简单应用

3.（2016春•吐鲁番市校级期中）如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题：

（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；

（2）写出图上其他地点的坐标

（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．

【思路点拨】

（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；

（2）根据

（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；

（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．

【答案与解析】

解：

（1）由题意可得，

（2）由

（1）中的平面直角坐标系可得，

校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；

（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，

【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．

4.（2015春•荣昌县期末）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．

【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．

【答案与解析】

解：

分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，

则E（5，3），

所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF

=5×3﹣

×2×2﹣

×1×3﹣

×3×2

=

．

【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：

利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．

5.△ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．

（1）将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?

（2）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?

（3）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?

【答案与解析】

解：

（1）A1（5，1），B1（4，-1），C1（2，0）．

（2）△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．

（3）△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．

【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．

举一反三：

【变式】

（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　）

　A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）

【答案】D．

解：

在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．

故选：

D．

类型四、综合应用

6.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．

（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；

（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；

（3）求出三角形A1B1C1的面积．

【思路点拨】

（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．

（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．

（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．

【答案与解析】

解：

（1）如图1，

（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；

（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，

即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．

∴△A1B1C1的面积=3.25．

【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。

举一反三：

【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为（-3，2）和（3，2），则矩形的面积为（）．

A．32B．24C．6D．8

【答案】B.

《平面直角坐标系》全章复习与巩固（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．点P（0，3）在（）.

A．x轴的正半轴上B．x的负半轴上C．y轴的正半轴上D．y轴的负半轴上

2．（2016•雅安）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）

3．将某图形的横坐标减去2，纵坐标保持不变,可将图形（）.

A．横向向右平移2个单位

B．横向向左平移2个单位

C．纵向向右平移2个单位

D．纵向向左平移2个单位

4．（2015•威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　）

　A．第一象限B．第二象限C.第三象限D.第四象限

5．点P的坐标为（3a-2，8-2a），若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（）.

A．

或4B．-2或6C．

或-4D．2或-6

6.如图是被墨迹污染的旅游区各景点地图，隐约可见，第一景点的坐标为（0,3），第二景点的坐标为（5,3），景区车站坐标为（0,0），则车站大约在（）.

A．点AB．点BC．点CD．点D

7．若点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为（）．

A．（0，-2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4）

二、填空题

9.如图，若点E坐标为（－2，1），点F坐标为（1，－1），则点G的坐标为．

10.点P（－5，4）到x轴的距离是，到y轴的距离是．

11.若点M在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则M的坐标是．

12.若点（a，b）在第二象限，则点（b，a）在第象限.

13.将点P（－1，－2）向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到P1，则点P1的坐标是．

14.点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为．

15.（2015春•道县校级期中）在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有　　个．

-4或6

16.在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k为整数，则k的值为．

三、解答题

17．（2016春•潮南区月考）已知三角形ABC的两个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），如图，且过这两个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为﹣1，求顶点C的坐标及三角形的面积．

18．（2015春•和县期末）如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：

（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；

（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；

（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积．

19.已知A（0，0），B（9，O），C（7，5），D（2，7），求四边形ABCD的面积．

20.小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序．

（1）如果用（8，5）表示入口处的位置，（6，1）表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？

（4，6）表示哪个地点？

（2）你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗?

（3）请你帮小杰设计一条游玩路线，与同学交流，看谁设计的路线最短?

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】横坐标为0，说明点在y轴上，又纵坐标大于0，说明点在y轴的正半轴上.

2.【答案】C；

【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4，

∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，

∴点B的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．

3.【答案】B.

4.【答案】A；

【解析】解：

由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得

a+1＜0，b﹣2＞0．

解得a＜﹣1，b＞2．

由不等式的性质，得

﹣a＞1，b+1＞3，

点B（﹣a，b+1）在第一象限，

故选：

A．

5.【答案】D；

【解析】由题意得：

，解得：

或

.

6.【答案】B；

【解析】根据已知的坐标，可建立平面直角坐标系，如图，由此可得答案.

7.【答案】D；

【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以m＜0且n＞0，所以|m|＞0，-n＜0，点B（|m|，-n）在第四象限，故选D．

8.【答案】B；

【解析】在x轴上点的纵坐标为0，所以m+1＝0，可得m＝-1，m+3＝2，所以P点的坐标为（2，0），故选B．

二.填空题

9.【答案】（1，2）；

【解析】由图可知，点G的横坐标与点F的横坐标相同，均为1，而纵坐标比点E的纵坐标大1，所以点点G的坐标为（1,2）．

10.【答案】4,5.

11.【答案】（－3，2）.

12．【答案】四；

【解析】由点（a，b）在第二象限，可得a＜0，b＞0，即得点（b，a）的横坐标大于0，而纵坐标小于0，所以点（b，a）在第四象限．

13.【答案】（2，－4）；

【解析】－1+3＝2，－2－2＝-4.

14.【答案】垂直.

15.【答案】3；

【解析】解：

点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个．故答案填：

3．

16.【答案】1．

【解析】∵点A（1-2k，k-2）在第三象限，∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：

0.5＜k＜2，

又∵k为整数，∴k=1．

三.解答题

17.【解析】

解：

（1）∵AB边上的高为4，

∴点C的纵坐标为4或﹣4，

∵第三个顶点C的横坐标为﹣1，

∴点C的坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）；

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），

∴AB=2﹣（﹣4）=2+4=6，

∴△ABC的面积=

×6×4=12．

18.【解析】

解：

（1）如下图；

（2）如下图；

（3）S△ABC=3×4﹣

×2×1﹣

×1×4﹣

×3×3=4.5．

19.【解析】

解：

过点C作CF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E

则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5

∴

．

20.【解析】

解：

（1）（0，7），海底世界；

（2）天文馆离入口最近，攀岩离入口最远；

（3）略．