高考数学第八章立体几何专题29直线平面平行与垂直的判定与性质考场高招大全.docx
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高考数学第八章立体几何专题29直线平面平行与垂直的判定与性质考场高招大全
专题29直线、平面平行与垂直的判定与性质
考场高招1平面性质的三大应用规律
1.解读高招
规律
解 读
典例指引
点共线
证明
证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上
典例导引1
（2）
线共点
证明
证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再证第三条直线经过这一点,将问题转化为证明点在直线上
典例导引1
（3）
点线共
面证明
（1）纳入平面法:
先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;
（2）辅助平面法:
先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合
典例导引1
（1）
2.典例指引
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
（1）D,B,F,E四点共面;
（2）若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
（3）直线DE,BF,CC1交于同一点M.
考场高招2求解异面直线所成角的方法
1.解读高招
方法
解 读
适合题型
典例指引
平移法
通过作图（如结合中位线、平行四边形补形等）来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解
在几何体内容易达到平移的目的
典例
导引2
（1）
补形法
补成长方体或正方体
补形后易于求异面直线所成角
典例
导引2
（2）
温馨
提醒
两异面直线所成的角转化为三角形的内角时,要注意这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角
2.典例指引
2
（1）（2017四川凉山一诊）在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,异面直线A'D与AB'所成角的大小是 .
（2）正三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于 .
3.亲临考场
1.（2017课标Ⅱ,理10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,
AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2016课标Ⅰ,理11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点66直线、平面平行的判定与性质
考场高招3证明线面、面面平行的方法
1.解读高招
方法
线面平行的证明
面面平行的证明
典例指引
判定定
理法
利用直线与平面平行的判定定理,关键是找到平面内与已知直线平行的直线,若不存在,则需要作辅助线
利用面面平行的判定定理,关键是在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面
典例导
引3
（1）
性质定
理法
利用面面平行的性质定理,将面面平行转化为线面平行
利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明.利用平面平行的传递性:
两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行
典例导
引3
（2）
2.典例指引
3
（1）正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证:
PQ∥平面BCE.
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:
平面PMN∥平面A1BD.
3.亲临考场
1.（2015安徽,理5）已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（ ）
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
2.（2014课标Ⅱ,理
18）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
（1）证明:
PB∥平面AEC;
（2）设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=
求三棱锥E-ACD的体积
考点67直线、平面垂直的判定与性质
考场高招4证明线面垂直、面面垂直的方法
1.解读高招
方法
线面垂直的证明
典例
指引
面面垂直的证明
典例
指引
利用直线与平面的判定定理,关键是找到两条相交的直线都和已知直线垂直（常用方法）
典例导
引4
（2）
利用面面垂直的判定定理.一般方法是:
先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决
典例导
引4（3）
（1）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面（客观题常用）;
（2）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它也垂直于另一个平面（客观题常用）;
（3）若两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（常用方法）;
（4）若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面（客观题常用）
典例导
引4
（1）
若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于第三个平面（客观题常用）
典例导
引4
（1）
2.典例指引
4（1导引4
（1）设α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为（ ）
A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.n⊥α,n⊥β,m⊥α
（2）如图,四棱锥P-ABCD中,底面π是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=
M为BC上一点,且BM=
.证明:
BC⊥平面POM.
（3）（2017广东深圳一模）如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=
∠EAD=∠EAB.
证明:
平面ACFE⊥平面ABCD.
【答案】D
（2）【证明】如图,连接OB,
因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,
所以AO⊥OB.
因为∠BAD=
故OB=AB·sin∠OAB=2sin
=1.
又因为BM=
且∠OBM=
在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+
-2×1×
×co
s
.
所以OB2=OM2+BM2,
故OM⊥BM,即OM⊥BC.
又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.
又OM⊂平面POM,PO⊂平面POM,OM∩PO=O,
所以BC⊥平面POM.
（3）【证明】连接EG,∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,在△EAD和△EAB中,
AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB,
∴△EAD≌△EAB,
∴ED=EB,
∴BD⊥EG.
∵AC∩EG=G,
3.亲临考场
1.（2017课标Ⅰ,理18）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
（1）证明:
平面PAB⊥平面PAD;
（2）若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
2.（2016课标Ⅱ,理19）如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=
EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=
.
（1）证明:
D'H⊥平面ABCD;
（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.
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