谈谈高考数学选择题的解法.docx

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谈谈高考数学选择题的解法

　　把选择题引入数学试卷，有利于扩大试卷容量以覆盖较多的知识点与数学方法；由于其表述简洁、清晰，评分标准客观、准确，有利于提高考试信度；选择题不需要表述解答，重在考查学生基于数学概念分析、判断、推理的灵活性以及直觉意识，注重训练学生的逻辑思维能力、合情推理能力以及深入探究构建算法、向着目标运算求解的能力.

　　全国高考数学试卷中通常有12道选择题，每道5分，共计60分，占试卷总分值的40%.因此，研究、总结高考数学选择题的解法，给考生提供应对策略十分必要.

　　高考数学试卷中的选择题由题干与4个选项组成4个命题，解答选择题就是按指令判明其中的真命题或假命题，即从4个选项中辨别出正确选项.这使得选择题既有着与填空题相同的直接解法，也存在独特的间接解法，甚至可以猜测选项.笔者基于检测训练，构建出选择题的求解策略：

直接求解与间接求解.前者基于推理与计算直击目标，后者有极大的灵活性，它基于不同选项之间的差异，经历逻辑推理、合情推理、探究构建等数学技能，肯定一支或否定三支，辨别出正确选项.

　　教学检测统计表明，对于较容易的选择题，算法熟悉，学生普遍视选择题为填空题，不会顾忌选项之间的差异而采用直接法；遇到较难的选择题，考生则普遍注重分析选项之间的差异，基于特例，甚至猜测否定三个选项，合理找出正确选项.当然，求解选择题也应基于审题灵活决策，尤其要重视题干陈述的条件、选项之间的差异，通过逻辑分析、数形结合、活用概念、善用结论、以极端思维方法（特殊值、特殊点、极限趋势等），在验算、估算、活算、巧算、速算、少算、不算上多思考、多下功夫.

　　一、直接求解方法

　　直接方法的根本特点在于基于题设经历推理、计算，直击正确选项，不需考虑其他三个干扰项为什么错.

　　1.运算求解

　　由题干到目标求解的算法很熟悉，可以运算求解，直击目标.

　　例1（2013年安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|=OA?

OB=2，则点集R={P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）.

　　（A）22（B）23

　　（C）42（D）43

　　解析：

本题计算一个定义区域的面积，选项正误难于辨别，也不存在特例可构造；目标求解对图形的依赖比较明显，这时，通常不顾选项，构图计算，再对比选项，作出选择.

　　图1如图1，当λ+μ=1时，由OP=λOA+μOB定义的点P在线段AB上.结合对称性，当|λ|+|μ|=1时，点P的轨迹是矩形ABA′B′（其中OA′=-OA，OB′=-OB）；满足|λ|+|μ|≤1的所有点P构成的点集是矩形ABA′B′的内部（含边界）区域.所以，平面点集R的面积S=12|AA′|?

|BB′|?

sinπ3=43，选D.

　　2.分类追踪

　　例2实数a，d，q满足{a，a+d，a+2d}={a，aq，aq2}，则q的值是（）.

　　综上所述，正确选项是C.

　　评注：

遇到不确定情形，应以分类追踪目标，但是作为选择题，其选项之间的互斥性以及唯一正确性，既不必像解填空题那样彻底追踪（这里未验证q=-12是否存在相应的实数a，d满足集合等式），也不一定要像解填空题那样对各种情形予以全面追踪，只需就其某些情形求解，达到筛选出正确选项的目的即可.读者还可以继续探究上述解析中未尽的部分，此略.下面的例3进一步表明，只求解其中一种情形即可找到正确选项，无需再多浪费宝贵时间.因此，解选择题还应坚持“反分类求解”.

　　例3已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）.

　　（A）34（B）1

　　（C）54（D）74

　　解析：

本题情境算法学生比较熟悉，但是A，B，F三点存在共线与不共线两种情况，具有不确定性，以分类讨论能够完全求解；但由于选项是互斥的，只要按其中一种情况搜寻出答案即可排除三个，肯定一个，做到合理避免讨论，节约时间.

　　令A，F，B三点共线，记线段AB的中点为M，分别自点A，M，B向抛物线的准线l：

x=-14引垂线，垂足分别记作A1，M1，B1.

　　由抛物线的定义以及MM1是直角梯形AA1B1B的中位线，可得|MM1|=12（|AA1|+|BB1|）=12（|AF|+|BF|）=32.

　　所以，点M到y轴的距离是xM=|MM1|-14=54，选C.

　　读者可以继续探究：

在A，F，B不共线时，目标的求解方法.

　　3.逻辑推理

　　例4椭圆x24+y2=1上到直线x+y=0的距离是2的点共有（）.

　　（A）4个（B）3个

　　（C）2个（D）1个

　　解析：

由直线x+y=0过椭圆x24+y2=1的对称中心O（0，0）可知，满足题设的点应该是偶数个，排除B，D；再由椭圆的右顶点A（2，0）到直线x+y=0的距离为d=22=2以及椭圆在右顶点A处的切线是直线x=2，直线x+y=0不是该椭圆的切线，可以选定A.

　　评注：

按题干基本特性作简单计算与推理分析，排除干扰，选定目标.

　　4.数形结合

　　例5（2013年天津卷）函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为（）.

　　（A）1（B）2

　　（C）3（D）4

　　解析：

　　例6方程x2-2asin（cosx）+a2=0（a>0）仅有一解，则a的值是（）.

　　（A）2sin1

　　（B）2cos1

　　（C）2sin（cos1）

　　（D）2cos（sin1）

　　解析：

由于偶函数f（x）=x2-2asin（cosx）+a2图象关于y轴对称，结合题意该函数有唯一零点x=0，所以，正数a=2sin1，选A.

　　评注：

遇到超越函数零点问题应多考虑函数性质，结合图象求解.

　　二、间接求解方法

　　间接求解方法不同于直接求解方法，不直接确认哪个是正确的，重在辨别出其中三个干扰选项；基于正确选项的唯一性，否定三个选择一个，不需要顾忌被选项是否正确.

　　1.筛选法

　　例7（2013年北京卷）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0，

　　x+m<0，

　　y-m>0表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是（）.

　　（A）（-∞，43）

　　（B）（-∞，13）

　　（C）（-∞，-23）

　　（D）（-∞，-53）

　　解析：

各选项表示的实数m范围存在差异，基于这种差异，以m的值也容易验证题干.

　　取m=0，得到可行域2x-y+1>0，

　　x<0，

　　y>0，但其中不含直线x-2y=2上的点P（x0，y0），所以排除A，B.

　　再取m=-1，得可行域2x-y+1>0，

　　x<1，

　　y>-1，其中含直线x-2y=2上的点P（12，-34），所以排除D.只有C正确，∴选C.

　　图22.验证法

　　例8（2013年四川卷）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，-π2<φ<π2）的部分图象如图2所示，则ω，φ的值分别是（）.

　　（A）2，-π3（B）2，-π6

　　（C）4，-π6（D）4，π3

　　解析：

从图中数据看容易先求出周期，从而先得到ω的值，排除两个选项；然后在另两个选项中筛选出正确选项.

　　由图示数据可知，34T=34?

2πω=5π12+π3=9π12=3π4，所以ω=2，从而否定选项C，D.

　　若选项B正确，则f（x）=2sin（2x-π6），所以f（-π3）=2sin（-2π3-π6）=2sin（-π+π6）=-2sinπ6=-1，与图示数据矛盾！

　　故选项B不正确，所以选择A.

　　评注：

上述解法以直接法与间接法综合应对选项.后半部继续应用直接方法也很快捷，取一个与f（x）=2sin（2x+φ）有相同周期的函数y=2sin2x，按照图示函数y=f（x）图象在y轴右侧与x轴最左边的交点是（π6，0），所以把y=2sin2x的图象向右平移π6个单位，即得到函数y=f（x）的图象，所以f（x）=2sin2（x-π6）=2sin（2x-π3），正好与选项A吻合.

　　3.极端性

　　具体表现为特例法、特殊值法、极限法等.

　　例9（2013年辽宁卷）已知函数f（x）=x2-2（a+2）x+a2以及g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8；定义H1（x）=max{f（x），g（x）}以及H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中maxp，q表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）得最小值为A，H2（x）得最大值为B，则A-B=（）.

　　（A）a2-2a-16

　　（B）a2+2a-16

　　（C）-16

　　（D）16

　　解析：

本题用特殊值法快捷.

　　取a=1，则f（x）=x2-6x+1以及g（x）=-x2-2x+7.

　　由f（x）≤g（x）-1≤x≤3，所以

　　H1（x）=

　　x2-6x+1，x∈（-∞，-1]，↓

　　-x2-2x+7，x∈[-1，3]，↓

　　x2-6x+1，x∈[3，+∞），↑

　　H2（x）=

　　-x2-2x+7，x∈（-∞，-1]，↑

　　x2-6x+1，x∈[-1，3]，↓

　　-x2-2x+7，x∈[3，+∞），↓

　　∴A=H1（x）min=H1（3）=-8，

　　B=H2（x）max=H2（-1）=8，

　　A-B=-16，故选C.

　　4.数形结合法

　　例10（2013年广东卷）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x

　　（A）（y，z，w）∈S，（x，y，w）S

　　（B）（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

　　（C）（y，z，w）S，（x，y，w）∈S

　　（D）（y，z，w）S，（x，y，w）S

　　解析：

本题高度抽象，当以图示数，化抽象为具体.S中的每个三元数组（x，y，z）本质上可以将x，y，z以逆时针方向构成一个圆排列恰好体现出其从小到大的顺序，如图3；再由（z，w，x）∈S可知，w位于z，x之间，如图4；按图4，由S的定义，选B.　　图3图45.归纳猜想

　　例11（2013年全国卷）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则（）.

　　（A）{Sn}为递减数列

　　（B）{Sn}为递增数列

　　（C）{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

　　（D）{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

　　解析：

按题意，可取b1=43a1，c1=23a1，先选出以下数值：

b2=56a1，c2=76a1，a2=a1；b3=1312a1，c3=1112a1，a3=a1；b4=2324a1，c4=2524a1，a4=a1.

　　由三角形面积公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中p=a+b+c2，可算出：

　　S1=15a2112，S2=24a2112>S1，S3=105a2112>S2，S4=429a2124=429420?

105a2112>S3，从而有S1

　　6.极限思想

　　例12椭圆E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别记作F1，F2，如果E上存在一点P使得线段PF1的中垂线过点F2，则E的离心率取值范围是（）.

　　（A）（0，13）（B）（13，12）

　　（C）[13，1）（D）[13，23）

　　解析：

按题意|PF2|=|F1F2|=2c，得|PF1|=2a-2c，记线段PF1的中点为K；如图5，∠F1KF2=90°（含K与F2重合），必有|PF1|2≤|F1F2|，即a-c≤2c，即13≤e<1，否定A.

　　图5图6另外，如图6，越是e→1，越支持题设条件“椭圆上存在点P使得线段PF1的中垂线过点F2”（事实上，当PF1⊥x轴时，线段PF1的中垂线与x轴平行，认为它与x轴正方向交于无穷远点；将PF1绕点F1以顺时针方向连续转动，则交点向左连续移动，并且交点可以发生在点F2左侧，从而必有一个点P，使得线段PF1的中垂线过右焦点F2），所以，否定B，D.

　　故正确选项是C.

　　评注：

上述解法基于极限方法否定选项B，D，我们也可以如下作直接推证否定B，D.

　　任取e∈（13，1），都有|PF1|2∠F1F2K，当点P移动时，∠F2F1K由0°变到180°，∠F1KF2也随着从180°到0°，其中必有一点P使得∠F1KF2=90°，此点P即满足线段PF1的中垂线过点F2，所以否定B，D.

　　三、珠联璧合

　　选择题的解答策略的练就和掌握，重在平时，抓住每一次检测训练的机会，切实提升自己求解选择题的速度与准确性.一个有效的方法是对一个题多动脑筋，多探究其间接解法，追求快捷、准确与巧妙的求解水平.

　　例13（2013年江西卷）如图7，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x（0

　　图7分析：

本题函数与自变量依赖关系稍微复杂一些，但其单调递增性是明确的.

　　解法一：

按函数y=f（x）的严格递增性直接否定B；记平行线l与l1之间的距离为h，则y与h之间是一次函数关系，不难看出x与h之间是三角函数关系，从而否定A；很明显，当h=12时，有x=2π3以及y=233×2=433，所以，函数y=f（x）的图象过点（2π3，433），从C，D两个选项看，当否定C，选定D.

　　解法二：

记平行线l与l1之间的距离为h，由1-h=cosx2，

　　y=233+2×hsinπ3，消去h，可得y=23-433cosx2，其中x∈（0，π），从而选D.

　　评注：

解法一是间接方法，基于函数的基本性质与选项之间的差异性否定干扰项，确认正确选项，其中特殊点（2π3，433）在最后起到关键性作用；解法二是直接解法，应用参数h实现变量y与x之间的联系，经过消元构建出目标函数，化为按三角函数式选择图形，直接找到正确选项.

　　例14（2013年全国卷）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0，x>0，

　　ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）.

　　（A）（-∞，0]（B）（-∞，1]

　　（C）[-2，1]（D）[-2，0]

　　分析：

一方面，4个选项之间数据差异明显，适宜用筛选法否定干扰项；另一方面，所给函数图象容易作出，因此，也适宜应用数形结合法直接找出正确选项.

　　解法一（筛选法）：

取a=1，则应有|f（x）|≥x，x∈R，但|f

（1）|=ln2<1，矛盾！

所以a≠1，从而否定B，C；下面区分A与D.

　　取a=-3，则应有|f（x）|≥-3x，x∈R，但|f（-12）|=54<-3×（-12），所以a≠-3，从而否定A，故选择D.

　　解法二（数形结合）：

如图8，当x>0时，恒有|f（x）|≥ax，即ln（x+1）≥ax，x>0，但函数y=ln（x+1）图象向上凸，其图象位于点（0，0）处切线y=x下方，所以a≤0；再由|f（x）|≥ax，x≤0，即x2-2x≥ax，x≤0，但函数y=x2-2x图象向下凸，其图象位于点（0，0）处的切线y=-2x上方，所以a≥-2.

　　图8综上所述，得-2≤a≤0，选D.

　　评注：

解法一从选择支的差异，采取特殊值策略，巧妙地否定三个干扰项，快捷地找出正确答案D；解法二基于熟知的函数图象，直接找出出正确选项D；本题还可以分离参数求解，留给读者自行探究.　　例15（2013年辽宁卷）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f

（2）=e28，则当x>0时，f（x）（）.

　　（A）有极大值，无极小值

　　（B）有极小值，无极大值

　　（C）既有极大值又有极小值

　　（D）既无极大值也无极小值

　　解析一：

由题设条件，得[x2f（x）]′=exx.

　　记g（x）=x2f（x），则g′（x）=exx，

　　f（x）=g（x）x2，从而

　　f′（x）=g′（x）x-2g（x）x3=ex-2g（x）x3.

　　令δ（x）=ex-2g（x），则δ′（x）=ex-2g′（x）=ex-2exx=（x-2）exx，从而δ（x）在区间（0，2]上递减，在[2，+∞）上递增，δ（x）min=δ

（2）=e2-2g

（2）=e2-8f

（2）=0，所以f′（x）=δ（x）x3≥0，x∈（0，+∞），其中仅f′

（2）=0.这就证明了f（x）在区间（0，+∞）上递增，既没有极大值也没有极小值.

　　解析二：

由x2f′（x）+2xf（x）=exx，得[x2f（x）]′=exx，所以，对一切x∈（0，+∞），都有x2f（x）=∫x0ettdt，即f（x）=1x2∫x0ettdt，求导，得f′（x）=ex-2∫x0ettdtx3.

　　记δ（x）=ex-2∫x0ettdt，则δ′（x）=（x-2）exx，δ（x）=ex-2x2f（x）在区间（0，2]上递减，在区间[2，+∞）上递增，对一切x∈（0，+∞），都有δ（x）≥δ

（2）=e2-2×22f

（2）=e2-8?

e28=0.所以，对一切x∈（0，+∞），都有f′（x）=δ（x）x≥0，其中“=”仅在x=2时取到，f（x）在区间（0，+∞）上递增，正确选项是D.

　　解析三：

由题设，得[x2f（x）]′=exx，所以，

　　当x>2时，有∫x2exxdx=x2f（x）2

　　x=x2f（x）-4f

（2）=x2f（x）-e22；

　　当0

　　∫2xexxdx=x2f（x）2

　　x=4f

（2）-x2f（x）

　　=e22-x2f（x）.

　　又f′（x）=ex-2x2f（x）x3，

　　∴f′（x）≥0，x>0ex-2x2f（x）≥0，

　　x>0x2f（x）≤ex2，x>0，

　　故∫x2exxdx≤ex2-e22=∫x2ex2dx，

　　即∫x2（exx-ex2）dx≤0，x>2，

（1）

　　或∫2xexxdx=e22-x2f（x）

　　≥e22-ex2=∫2xex2?

dx，

　　即∫2x（exx-ex2）dx≥0，x∈（0，2）.

（2）

　　上述

（1）和

（2）明显成立，结合f′

（2）=0可知，f′（x）在（0，+∞）上不变号.

　　故函数y=f（x）在（0，+∞）上无极值.

　　评注：

本小题作为2013年高考辽宁卷压轴选择题，以2013年最难选择题著称.

　　高考数学选择题的解法不拘一格，大体上分为直接解法与间接解法两大类别，巧妙快捷之法来自对题目的深入探究.高考数学试卷中，选择题数量多，分值大，能否考出理想的成绩，选择题的得分很是关键.因此，考前抓住检测模拟的机会，切实向着目标努力训练，力争快捷、准确地做好选择题.

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