求数列前n项和的七种方法.docx
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求数列前n项和的七种方法
求数列前N项和的七种方法
1.公式法
等差数列前n项和：
特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k4=（2k-l£akd，即前n项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n项和：
q=1时，Sn=nai
其他公式:
log23
［例1］已知log3x=—'，求x+x+x+■■'+xn+■■的前n项和.
一1
log23
解：
由log3x=：
log3x--log32=
由等比数列求和公式得S^xx2x3
xn（利用常用公式）
［例2］设S=1+2+3+…+n.
*-
n€N,求f（n）二
Sn
（n32）Sm的最大值.
解：
由等差数列求和公式得
Sn
f（n）=
（n+32）5+
2
n34n64
n3464（、.n-8）2•50
n.一n
<——
50
81
•••当，即g8时，f（n）"50
2•错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an・bn｝
的前n项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列.
••I.［例3］求和：
Sn-13x5x27x3卷"出卜（2n-1）xnJ①
［X'-"
x'冲I//_
|v"jT”JF1,
解：
由题可知，｛（2n-1）xnJ｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xnJ｝的通项之积I—_■.I
I
设xSn-1x3x25x37x^（2n-1）xn.②（设制错位）
①一②得（1—x）Sn=12x2x22x32x^2xnJ-（2n-1）xn（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
（1-x）Sn=1+2x匕仝
1-x
n二
-（2n-1）xn
c（2n_1）xn+-（2n+1）xn+（1+x）…Sn
（1-x）2
［例4］求数列2各孚,…，芈■■前n项的和.
222232n
2n
歹
设S=2+土+2+…+二
设Sn222232n
247卜一6一亠亠_2"
小2小3小4j1
2222
①—②得（—2）Sn今W「
22222324
•S=4_n+2
nF2*4
解：
由题可知，｛2n｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛\｝的通项之积
22n
练习：
求：
S=1+5x+9x2+•解：
S=1+5x+9x2+•
①两边同乘以x，得
xS=x+5x2+9x3+•••
2n
②（设制错位）
2n
（错位相减）
+（4n-3）x
+（4n-3）x
n-1
n-1①
+（4n-3）x“②
①-②得，（1-x）S=1+4（x+x2+x3+••
（4n-3）xn
当x=1时，S=1+5+9++（4n-3）=2n-n
当x丰1时，s=11-x［4x（4*n）1-x+1-（4n-3）xn］
3.反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（aian）.
［例5］求sin21sin22sin23，圧sin288sin289的值
解：
设S=sin21sin22sin23亠亠sin288sin289.①
I
将①式右边反序得
_20202。
202心/.
S=sin89sin88…sin3sin2sin1…②（反序）
又因为sinx=cos（90_x）,sin2xcos2x=1
①+②得（反序相加）
i:
202©2。
2。
2"°
2S=（sin1+cos1）+（sin2+cos2）+…+（sin89+cos89）=89
•••S=44.5
IIf■-"
4.分组法求和
I
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
［例6］求数列的前n项和：
1十1,丄十4,亠十7，…,—J+3n-2，…
aaa
111
解：
设Sn=（11）"4）（27）……"（n3n-2）
a|aa
将其每一项拆开再重新组合得
111
Sn=（1._.—2「一.…一一nJ）■（14.7丁…丁3n_2）（分组）
aaa
当a=1时，Sn=n・（3n—1）n=（3n1）n（分组求和）
22
1」
1-n
a__.（3n-1）n
a-12
［例7］求数列｛n（n+1）（2n+1）｝的前n项和.
解：
设ak-k（k1）（2k1）-2k3k2k
nn
•••Sn=\k（k1）（2k1）='（2k33k2k）
k#k=1
将其每一项拆开再重新组合得
nnn
Sn=27k33、k^k（分组）
k4k4y
=2（1323…n3）3（1222…n2）（12…n）
22
山1）_•n（n1）（2n1）n（n1）（分组求和）
222
n（n1）2（n2）
2
1111
练习：
求数列2,24,38^**（n•的前n项和
5.裂项法求和
\I
II.
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）女口：
（1）an=f（n+1）-f（n）
（2）f—.=tan（n+1）「—tann
cosncos（n+1）
（5）
11r11i
n（n-1）（n2）2[n（n1）（n-1）（n2）]
（6）an
n21
n（n1）2n
2（n1）-n1
n（n1）2n
11n-2n4_（n-1）2n
，则Sn
1
（n1）2n
［例9］求数列
11
1•22”3
…的前n项和.
■n（裂项）
则Sn
—1
122>3
（裂项求和）
=（、'.$2j1）…（■:
''3*$2）n-.-1—n）
［例10］在数列｛an｝中，an
2
—，求数列｛bn｝的前n项的和.
an
an1
2
+
n1n1
彳=8（丄-丄）（裂项）
n1nn1
2
•••数列{bn}的前n项和
111111
Sn=8[（1-）（一-）（一—）（
22334n
=8（11
=8n
［例11］求证:
cos1
cos0cos1cos1cos2
--2
cos88cos89sin1
解：
设S=
cos0cos1cos1cos2
cos88cos89
sin1
tan（n1）-tann（裂项）
cosncos（n1）
二S=-
cos0cos1cos1cos2
$（裂项求和）
cos88cos89
1..1
:
（tan89-tan0）=sin1
cot1
sin1
cos1
sin21
原等式成立
练习：
求13,115,
135,163之和。
•丄.丄」
315356313355779
J（1_1）」（1_1）
23235257279
1
=2l（1
1111111
）'（）'（）'（）
3355779
=1（1_丄）=4
299
6.合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时,
可将这些项放在一起先求和，然后再求S.
［例12］求cosl°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°的值.解：
设S=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°
•••cosn-_cos（180■一n）（找特殊性质项）
•••S=（cosl°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+•+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）
=0
［例13］数列{an}:
ai=1@=3@=2,a*2二a*1-a*，求S°02.
解军：
设S2oo2=a1a2•a3亠亠a2002
由ai=1,a2=3,a3=2,a*.2二a*i-a*可得
•a6k1'a6k2'a6k:
（］3'a6k4'a6k5'a6k6~0（找特殊性质项）
Soo2=a1■a2■a3……-^2002（合并求和）
—（a1a2'a^■a6）（a7■a^■…a12）<（a6k1'a6k2'a6k6）
I
=ai999'a2000'a2001'a2002
=a6k1'a6k2'a6k3'a6k4
解：
设Sn=log3a1log3a^舄log381。
由等比数列的性质m，n=py—ama^apaq（找特殊性质项）和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得
Sn=（log3a1log3a10）（logsa?
log389）亠（log3a5log3a6）（合并求和）
=（log3a1a10）（log3a2a9）（log3a5a6）
=log39log3^—-log39
=10
7.利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法［例15］求1+11+111+…+14244之和.
n个1
11
解：
由于14429442443（10k-1）（找通项及特征）
"19m9
--1■11111112441
n个1
1111
（101-1）—（102一1）—（103_1）（10n-1）（分组求和）
9999
1123n1
=（101102103/0n）_（14-44412444441）
99n个1
二4.（11）8丄二哽
3443
练习：
求5,55,555,…，的前n项和。
解：
•••an=59（10X）
•s=59（10-1）+59（102-^）+59（103-1）+…+59（10n-1）
=59[（10+16+103+……+10n）-n]
5
=81（10n+1-9n-10）
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
11
1
{（tan1_tanO）（tan2_tan1）（tan3-tan2）[tan89-tan88]}sin1
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