一元二次方程根的情况试题练习题Word下载.docx

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13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根

C．没有实数根D．有两个不相等的实数根

14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

C．两个根都是自然数D．无实数根

15．一元二次方程x2+x+

=0的根的情况是（　　）

C．无实数根D．无法确定根的情况

16．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

17．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．没有实数根

18．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（　　）

C．没有实数根D．不能确定的

19．关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（　　）

C．没有实数根D．有两个实数根

二．填空题

21．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　　．

22．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值围为　　．

23．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．

24．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　　．

25．若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k=　　．

26．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　　．

27．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值围是　　．

28．一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　　．

29．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　．

30．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　　．

31．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值围是　　．

32．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　　．

33．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值围是　　．

34．若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是　　．

35．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值围是　　．

36．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值围是　　．

37．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值围是　　．

一．选择题（共20小题）

1．（2017•）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：

∵△=（﹣5）2﹣4×

2×

（﹣2）=41＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程无实数根．

2．（2017•）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（　　）

【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．

∵△=（﹣4）2﹣4×

3×

1=4＞0

故选D．

3．（2017•）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（　　）

∵△=（﹣7）2﹣4×

（﹣2）=57＞0，

故选A．

4．（2016•）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．

在方程x2﹣4x+4=0中，

△=（﹣4）2﹣4×

1×

4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．

5．（2016•）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）

【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．

∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，

∴ac＜0．

在方程ax2+bx+c=0中，

△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，

∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．

6．（2016•）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　）

【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．

∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×

1=1＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．

7．（2016•）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（　　）

【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

△=0⇔方程有两个相等的实数；

△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．

∵a=2，b=﹣3，c=1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×

∴该方程有两个不相等的实数根，

故选：

A．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．（2016•黔南州）y=

【分析】由一次函数的定义可求得k的取值围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．

∵y=

x+1是关于x的一次函数，

∴

≠0，

∴k﹣1＞0，解得k＞1，

又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，

∴△＜0，

∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，

【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．

9．（2016•）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　）

∵△=22﹣4×

1=0，

∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

10．（2016•）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　）

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．

∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×

（﹣1）=5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

11．（2015•）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（　　）

【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×

（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

根据题意△=（﹣2）2﹣4×

（﹣1）=8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．

12．（2015•滨州）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　）

原方程可化为：

4x2﹣4x+1=0，

∵△=42﹣4×

4×

∴方程有两个相等的实数根．

故选C．

13．（2015•）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）

【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

∵a=1，b=﹣2，c=3，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×

3=﹣8＜0，

所以方程没有实数根．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．

14．（2015•）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

∵a=2，b=﹣5，c=3，

∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×

3=1＞0，

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．

15．（2015•）一元二次方程x2+x+

【分析】求出△的值即可判断．

一元二次方程x2+x+

=0中，

∵△=1﹣4×

=0，

∴原方程由两个相等的实数根．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

16．（2014•）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．

∵a=1，b=﹣4，c=5，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×

5=﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

17．（2017•区校级一模）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．

∵a=1，b=﹣4，c=4，

∴△=16﹣16=0，

【点评】总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

18．（2017•静安区二模）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（　　）

【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×

（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．

△=（﹣m）2﹣4×

（﹣1）=m2+4，

∵m2≥0，

∴m2+4＞0，即△＞0，

19．（2017•兴庆区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（　　）

【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．

∵△=a2﹣4×

（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，

∴此方程有两个实数根．

【点评】结：

20．（2017•）如图，将半径为2，圆心角为120°

的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°

，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）

B．2

﹣

C．2

D．4

【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°

，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°

，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°

，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°

，根据图形的面积公式即可得到结论．

连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°

，

∴∠OAO′=60°

∴△OAO′是等边三角形，

∴∠AOO′=60°

∵∠AOB=120°

∴∠O′OB=60°

∴△OO′B是等边三角形，

∴∠AO′B=120°

∵∠AO′B′=120°

∴∠B′O′B=120°

∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°

∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=

×

2

﹣（

）=2

．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

二．填空题（共19小题）

21．（2016•）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　k＞﹣

　．

【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，

∴△=32﹣4×

（﹣k）=9+4k＞0，

解得：

k＞﹣

故答案为：

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

22．（2017•）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值围为　c＜1　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．

∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，

∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，

c＜1．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

23．（2016•）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣3）2﹣4×

k=9﹣4k=0，

k=

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

24．（2016•）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　1　．

【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．

∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴22﹣4m=0，

∴m=1，

1．

【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．

25．（2016•）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k=　9　．

【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×

k=0，然后解一次方程即可．

∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=62﹣4×

k=0，

k=9，

9．

26．（2016•宿迁）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是　k＜1　．

【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．

∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，

k＜1，

则k的取值围是：

k＜1．

k＜1