第12章教材习题解答Word文档格式.doc
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O
y
12.4半径为R的一段圆弧，圆心角为60°
，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ，电荷元为dq=λds，
在O点产生的场强大小为
，场强的分量为dEx=dEcosθ，dEy=dEsinθ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为
．
12.5均匀带电细棒，棒长a=20cm，电荷线密度为λ=3×
10-8C·
m-1，求：
（1）棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强．
-L
o
lx
dl
P1
r
L
d1
（1）建立坐标系，其中L=a/2=0.1（m），x=L+d1=0.18（m）．
在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为
场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得
----------①
将数值代入公式得P1点的场强为
=2.41×
103（N·
C-1），方向沿着x轴正向．
（2）建立坐标系，y=d2．在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为，
P2
dEy
dE2
dEx
d2
由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy=dE2sinθ．由图可知：
r=d2/sinθ，l=d2cotθ，所以dl=-d2dθ/sin2θ，因此，
总场强大小为
----------②
将数值代入公式得P2点的场强为
=5.27×
C-1）．方向沿着y轴正向．
[讨论]
（1）由于L=a/2，x=L+d1，代入①式，化简得
保持d1不变，当a→∞时，可得----------③
这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
当a→∞时，得----------④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey=2E1．
图12.6
12.6一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．
设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元ds=Rdφ，所带的电量为dq=λds，在圆心处产生的场强的大小为
dφ
dE
φ
由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为dEx=-dEcosφ．总场强为
方向沿着x轴正向．
E`
E``
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为
，方向沿着x轴负向．
当O点合场强为零时，必有，可得tanθ/2=1，
因此θ/2=π/4，所以θ=π/2．
P
b
a
Q
d
图12.7
12.7一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：
（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强．
dx
（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ=σdx，根据直线带电线的场强公式，
得带电直线在P点产生的场强为
，其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
--------①
场强方向沿x轴正向．
z
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ=σdx，带电直线在Q点产生的场强为，
沿z轴方向的分量为，
设x=dtanθ，则dx=ddθ/cos2θ，因此
积分得---------②,场强方向沿z轴正向．
[讨论]
（1）薄板单位长度上电荷为λ=σb，①式的场强可化为，
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
--------③
这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为，
，这也是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得---------④
这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12.8
（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？
（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？
点电荷产生的电通量为Φe=q/ε0．
（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1=Φe/6=q/6ε0．
（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1=Φe/24=q/24ε0；
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．
图12.9
12.9面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．解：
设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为q=πR2σ，
通过球面的电通量为Φe=q/ε0，
通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε0．
12.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1>
R2），带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求
（1）r<
R1；
（2）R1<
r<
R2；
（3）r>
R2处各点的场强．
由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．
（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E=0，（r<
R1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=λl，穿过高斯面的电通量为
根据高斯定理Φe=q/ε0，所以，（R1<
R2）．
（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E=0，（r>
12.11一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．
方法一：
高斯定理法．
（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：
E=E`．
在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为
高斯面内的体积为V=2rS，包含的电量为q=ρV=2ρrS，
根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρr/ε0，（0≦r≦d/2）--------①
（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES，
高斯面在板内的体积为V=Sd，包含的电量为q=ρV=ρSd，
根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρd/2ε0，（r≧d/2）--------②
dy
方法二：
场强叠加法．
（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ=ρdy，
产生的场强为dE1=dσ/2ε0，
积分得--------③
同理，上面板产生的场强为---------④
r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0．
（2）在公式③和④中，令r=d/2，得E2=0、E=E1=ρd/2ε0，
E就是平板表面的场强．
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．
R`
O`
图12.13
12.13一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`<
R的小球体，如图所示，试求两球心O与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．
挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．
对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程
，P点场强大小为．
当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程
O点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为，方向由O指向O`．
O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为，方向也由O指向O`．
[证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为
r`
Er
Er`
，，方向如图所示．
设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为
根据余弦定理得，
所以，
可见：
空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：
场强的方向沿着O到O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．
-q
+q
D
图12.14
12.14如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功．
正负电荷在O点的电势的和为零：
UO=0；
在C点产生的电势为，
电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为W=q0UOD=q0（UO-UD）=q0q/6πε0R．
12.15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2σ，B平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？
两平面产生的电场强度大小分别为EA=2σ/2ε0=σ/ε0，EB=σ/2ε0，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E=EA-EB=σ/2ε0，方向由A平面指向B平面．
两平面间的电势差为U=Ed=σd/2ε0，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为W=qU=qσd/2ε0．
12.16一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？
带电球面在外部产生的场强为，
由于，
当UR=0时，．
12.17电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（r<
R）处的电势为
[证明]球的体积为，电荷的体密度为．
利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为
，（r≦R）；
，（r≧R）．
取无穷远处的电势为零，则r处的电势为
-b
S2
S1
S0
12.18在y=-b和y=b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷．
（1）求此带电系统的电场分布，画E-y图；
（2）以y=0作为零电势面，求电势分布，画E-y图．
平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：
E=E`，但方向相反．
（1）在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为
高斯面内的体积为V=2yS，包含的电量为q=ρV=2ρSy，
根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρy/ε0，（-b≦y≦b）．
穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES，高斯面在板内的体积为V=S2b，包含的电量为q=ρV=ρS2b，
根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρb/ε0， （b≦y）；
E=-ρb/ε0， （y≦-b）．E-y图如左图所示．
（2）对于平面之间的点，电势为，
在y=0处U=0，所以C=0，因此电势为，（-b≦y≦b）．这是一条开口向下的抛物线．当y≧b时，电势为，
在y=b处U=-ρb2/2ε0，所以C=ρb2/2ε0，因此电势为，（b≦y）．
当y≦-b时，电势为，
在y=-b处U=-ρb2/2ε0，所以C=ρd2/2ε0，因此电势为，
U
两个公式综合得，（|y|≧d）．这是两条直线．
U-y图如右图所示．U-y图的斜率就形成E-y图，在y=±
b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y=±
b点相切．
图12.19
[注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即,这是因为积分的起点位置是积分下限．
12.19两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷σ=3.3×
10-6C·
m-2，求：
（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；
（2）A板的电势．
两板之间的电场强度为E=σ/ε0，
方向从A指向B．以B板为原点建立坐标系，则rB=0，rP=-0.04m，rA=-0.05m．
（1）P点和B板间的电势差为
（2），
由于UB=0，所以P点的电势为=1.493×
104（V）．
同理可得A板的电势为=1.866×
l
图12.10
12．20电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：
（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势；
（2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势；
（3）由电势梯度算出上述两点的场强．
电荷的线密度为λ=q/2L．
（1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为
lxx
总电势为．
（2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为
，积分得
（3）P1点的场强大小为
--------①,方向沿着x轴正向．
P2点的场强为
--------②
方向沿着y轴正向．
[讨论]习题12．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为
，由于2Lλ=q，取x=r，就得公式①．
（2）习题12．3的解答还计算了中垂线上的场强为
取d2=r，可得公式②．
由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算．
rA
R1
R2
rB
图12.21
12.21如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：
（1）A，B两点的电势；
（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．
（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势．
dr
在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为dV=4πr2dr，包含的电量为dq=ρdV=4πρr2dr，在球心处产生的电势为
球心处的总电势为
，这就是A点的电势UA．
过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得
球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为
，包含的电量为Q=ρV，
这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为．
B点的电势为UB=U1+U2．
（2）A点的场强为．B点的场强为．
[讨论]过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A点场强为E=0，（r≦R1）．
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为，
包含的电量为q=ρV，根据高斯定理得方程4πr2E=q/ε0，可得B点的场强为，（R1≦r≦R2）．这两个结果与上面计算的结果相同．
在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
，包含的电量为q=ρV，
根据高斯定理得可得球壳外的场强为，（R2≦r）．
A点的电势为
B点的电势为
．
A和B点的电势与前面计算的结果相同．
12.21
（1）设地球表面附近的场强约为200V·
m-1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．
（2）在离地面1400m高处，场强降为20V·
m-1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度．
地球的平均半径为R=6.371×
106m．
（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．根据公式E=-σ/ε0，电荷面密度为σ=-ε0E；
地球表面积为S=4πR2，地球所带有的总电量为Q=σS=-4πε0R2E=-R2E/k，
k是静电力常量，因此电量为=-9.02×
105（C）．
（2）在离地面高为h=1400m的球面内的电量为=-0.9×
105（C），
大气层中的电荷为q=Q-Q`=8.12×
由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为V=4πR2h=0.714×
1018（m3），
平均电荷密度为ρ=q/V=1.137×
10-12（C·
m-3）．
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