四边形添加辅助线.docx

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四边形添加辅助线

一、三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的

ⅰ可向两边作垂线。

ⅱ可作平行线，构造等腰三角形

ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2.与线段长度相关的

ⅰ截长：

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

ⅱ补短：

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

ⅲ倍长中线：

题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的

ⅰ考虑三线合一

ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转

二、四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

1、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形

ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形

2、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

ⅰ.作菱形的高；

ⅱ．连结菱形的对角线.

3、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

ⅰ.计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

4、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

5、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；

（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；

（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；

（4）延长两腰构成三角形；

（5）作两腰的平行线等.

三、圆

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：

①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：

利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

 3．遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：

利用圆周角的性质，可得到直径。

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：

①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：

利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：

可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：

若OA=r，则l为切线。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：

只需证OA⊥l，则l为切线。

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7． 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：

据切线长及其它性质，可得到：

①角、线段的等量关系；

②垂直关系；

③全等、相似三角形。

8．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：

利用内心的性质，可得：

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

② 内心到三角形三条边的距离相等。

9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：

外心到三角形各顶点的距离相等。

10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：

①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

11．遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用：

①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；

②利用圆内接四边形的性质；

③利用两圆公共的圆周的性质；

④ 垂径定理。

12．遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线。

作用：

①利用连心线性质；

②切线性质等。

13． 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线。

作用：

可利用连心线性质。

 14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。

作用：

以便利用圆的性质。

例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

求证:

OE与AD互相平分.

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:

ED+FG=AC.

3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.

分析：

要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：

四边形CDEF是菱形.

例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.

例6如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.

分析：

要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：

∠BCF=

∠AEB.

例8已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：

CO=CD.

例9如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.

分析：

根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.

例10如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：

OG=OH.

分析：

欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.

例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

3、平移对角线：

例4、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=

，求证：

AC⊥BD。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：

AD=DE。

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：

四边形ABFE是等腰梯形。

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，

求：

（1）腰AB的长；

（2）梯形ABCD的面积．

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：

BD>AC。

证：

作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：

AB＋CD=AD。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

（1）EF//AD；

（2）

。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

例16、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：

线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

例17、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．