中考几何三大变换Word格式文档下载.docx

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并证明你猜想的结论．

6．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°

，∠MBN=60°

，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

7．用两个全等的等边△ABC和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°

角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转

（1）如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？

证明你的结论．

（2）如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由．

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°

，∠MAN=

∠BAD．

（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不用证明；

（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不用证明．

9．如图1，已知∠ABC=90°

，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°

得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°

，猜想∠QFC=　　°

；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB=2

，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

10．在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°

得到线段EF（如图1）

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；

绕点E逆时针旋转90°

得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°

得到线段EC2．判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．

（2）若AD=6，tanB=

，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

11．已知：

如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°

．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．

（1）当点E在线段BC上时，求证：

BE=CF；

（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；

（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．

解答：

（1）证明：

在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，∴CG=

FD，同理，在Rt△DEF中，EG=

FD，∴CG=EG．

（2）解：

（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：

连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；

在矩形AENM中，AM=EN，

在△AMG与△ENG中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．

证法二：

延长CG至M，使MG=CG，

连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°

，

∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，∴EG=

MC，∴EG=CG．

（3）解：

（1）中的结论仍然成立．

即EG=CG．其他的结论还有：

EG⊥CG．

过E点作EN⊥GH于N（1分）

∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB

∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°

又EC=EC，∴△EGC≌△CNE．（3分）∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF（4分）

猜想CH=EF﹣EG（5分）（3）解：

EF+EG=

BD（6分）

（4）解：

点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF﹣PN．

注：

图（1分）（画一个图即可），题设的条件和结论（1分）

解：

（1）如图：

画图正确（2分）

（2）①∠F=45°

时，BE=CF．（2分）

②答：

若BE=CF的结论仍然成立，则AE=AF，△AEF是等腰三角形．（1分）

证明：

延长FD到点G，使得FD=GD，连接BG．

∵点D是BC边中点，∴DC=DB

在△DCF和△DBG中

∴△DCF≌△DBG．（2分）∴∠F=∠G，CF=BG（1分）

当△AEF是等腰三角形，AE=AF时，∠F=∠2，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠G．∴BE=BG．∴BE=CF．（2分）

在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图①，

（1）结论为EF=FD．如图②，在AC上截取AG=AE，连接FG．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，

在△AEF与△AGF中，

，∴△AEF≌△AGF（SAS）．∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．

由∠B=60°

，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，

∵2∠2+2∠3+∠B=180°

，∴∠2+∠3=60°

．

又∠AFE为△AFC的外角，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°

．∴∠CFG=60°

即∠GFC=∠DFC，

在△CFG与△CFD中，

，∴△CFG≌△CFD（ASA）．∴FG=FD．∴FE=FD．

（2）EF=FD仍然成立．

如图③，

过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．∴∠FGE=∠FHD=90°

∵∠B=60°

，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠2+∠3=60°

，F是△ABC的内心

∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°

+∠1，

∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．

又∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），∴∠GEF=∠HDF．

在△EGF与△DHF中，

，∴△EGF≌△DHF（AAS），∴FE=FD．

点

（1）过P作PQ⊥BC于Q．∵矩形ABCD∴∠B=90°

，即AB⊥BC，又AD∥BC，∴PQ=AB=

（1分）

∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°

．在Rt△PQF中，PF=2．（3分）

∴△PEF的边长为2．PH与BE的数量关系是：

PH﹣BE=1．（4分）

（2）在Rt△ABC中，AB=

，BC=3，

∴∠1=30°

．（5分）

∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°

，PF=EF=2．（6分）

∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°

，∠1=∠3．

∴FC=FH．（7分）

∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH﹣BE=1．（8分）

∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°

，∴∠ABE=∠CBF=30°

，△BEF为等边三角形；

∴AE=

BE，CF=

BF；

∴AE+CF=

BE+

BF=BE=EF；

图2成立，图3不成立．

证明图2．

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，

∵∠FBE=60°

，∠ABC=120°

，∴∠FBC+∠ABE=60°

，∴∠FBC+∠KBC=60°

∴∠KBF=∠FBE=60°

，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．

图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．

（1）BE=CF，

连接AC，

∵△ADC、△ABC是等边三角形，∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°

，∠DAC=60°

∵∠FAE=60°

，∴∠CAE=∠DAF，

在△ACE和△ADF中

，∴△ACE≌ADF，∴CE=DF，

∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∴BE=CF．

结论BE=CF仍成立，理由是：

由

（1）知：

AD=AC，∠FAD=∠CAE，

∵等边三角形ABC和等边三角形ACD，∴∠ADC=∠ACB=60°

，∴∠ADF=∠ACE=120°

，∴△ACE≌ADF，∴DF=CE，∵CD=BC，∴BE=CF，即结论BE=CF仍成立．

延长MB到G，使BG=DN，连接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠ADC=90°

，AB=AD，∴△ABG≌△ADN．

∴AG=AN，BG=DN，∠1=∠4．∴∠1+∠2=∠4+∠2=∠MAN=

∴∠GAM=∠MAN．又AM=AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG=MN．

∵MG=BM+BG．∴MN=BM+DN．

（2）MN=BM﹣DN．

在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG．

∵∠ABC=∠ADC=90°

，AD=AB，∴△ADN≌△ABG，∴AN=AG，∠NAD=∠GAB，

∴∠MAN=∠MAD+∠MAG=

∠DAB，∴∠MAG=

∠BAD，∴∠MAN=∠MAG，∴△MAN≌△MAG，

∴MN=MG，∴MN=BM﹣DN．

（3）MN=DN﹣BM．

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　30　°

，猜想∠QFC=　60　°

（1）∠EBF=30°

（1分）∠QFC=60°

（2分）

（2）∠QFC=60°

．（1分）

解法1：

不妨设BP＞

AB，如图1所示．

∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°

﹣∠EAP，∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°

﹣∠EAP，

∴∠BAP=∠EAQ．（2分）

在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，

∴△ABP≌△AEQ．（SAS）（3分）∴∠AEQ=∠ABP=90°

．（4分）

∴∠BEF=180°

﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°

﹣90°

﹣60°

=30°

∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°

+30°

=60°

．（5分）

（事实上当BP≤

AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）

解法2：

设AP交QF于M∠QMP为△AMQ和△FMP共同的外角

∴∠QMP=∠Q+∠PAQ=∠APB+∠QFC，

由△ABP≌△AEQ得∠Q=∠APB，由旋转知∠PAQ=60°

，∴∠QFC=∠PAQ=60°

（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．

∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2

．由

（1）得∠EBF=30°

在Rt△BGF中，BG=

=

，∴BF=

=2．∴EF=2．（1分）

∵△ABP≌△AEQ．∴QE=BP=x，

∴QF=QE+EF=x+2．（2分）

过点Q作QH⊥BC，垂足为H．在Rt△QHF中，y=QH=sin60°

×

QF=

（x+2）．（x＞0）

即y关于x的函数关系式是：

y=

x+

．（3分）

（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．

如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．

∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°

依次得到线段EF、EG1，

∴∠P1EG1=∠CEF=90°

，EG1=EP1，EF=EC．

∵∠G1EF=90°

﹣∠P1EF，∠P1EC=90°

﹣∠P1EF，

∴∠G1EF=∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE=∠P1CE．

∵EC⊥CD，∴∠P1CE=90°

∴∠G1FE=90度．∴∠EFH=90度．∴∠FHC=90度．∴FG1⊥CD．

②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC．

∵AD=6，AE=1，tanB=

，∴DE=5，tan∠EDC=tanB=

可得CE=4．

由

（1）可得四边形EFCH为正方形．∴CH=CE=4．

①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，

∵FG1=CP1=x，P1H=x﹣4，∴S△P1FG1=

FG1×

P1H=

．∴y=

x2﹣2x（x＞4）．

②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，

∵FG1=CP1=x，P1H=4﹣x，∴S△P1FG1=

．∴y=﹣

x2+2x（0＜x＜4）．

③当P1点与H点重合时，即x=4时，△P1FG1不存在．

综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=

x2﹣2x（x＞4）或y=﹣

（1）连接AC（如图1）．

由四边形ABCD是菱形，∠B=60°

易得：

BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°

，∠ACB=∠ACD=60°

∴△ABC是等边三角形．∴AB=AC