高考文科数学一轮总复习命题及其关系充分条件与必要条件Word文档格式.docx
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不大于
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）“x2＋2x－3<
0”是命题．（ ）
（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（ ）
（3）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（ ）
（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（ ）
（5）q不是p的必要条件时，“p
q”成立．（ ）
答案：
（1）×
（2）×
（3）√ （4）√ （5）√
命题“若a>
b，则a＋c>
b＋c”的否命题是（ ）
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>
b＋c，则a>
b
D．若a>
b，则a＋c≤b＋c
解析：
选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
（2018·
高考天津卷）设x∈R，则“x3>
8”是“|x|>
2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
选A.由x3>
8可得x>
2，由|x|>
2可得x>
2或x<
－2，故“x3>
2”的充分而不必要条件．故选A.
设m∈R，命题“若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
把命题“若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
已知p：
a<
0，q：
a2>
a，则﹁p是﹁q的________条件（填：
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．
﹁p：
a≥0；
﹁q：
a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．
必要不充分
四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）
（1）（2019·
长春质量检测
（二））命题“若x2<
1，则－1<
x<
1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1<
1，则x2<
1
C．若x>
1或x<
－1，则x2>
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
（2）（2019·
广东中山一中第二次统测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>
y，则x>
|y|”的逆命题
B．命题“若x>
1，则x2>
1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>
0，则x>
1”的逆否命题
【解析】
（1）命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<
1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.
（2）命题“若x>
|y|”的逆命题为“若x>
|y|，则x>
y”，是真命题，故A正确；
命题“若x>
1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；
命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；
命题“若x2>
1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误，选A.
【答案】
（1）D
（2）A
（1）判断命题真假的两种方法
（2）由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（ ）
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
2．已知集合P＝
，Q＝{x|x＝
，k∈Z}，记原命题：
“若x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．4
选C.因为P＝
＝
，Q＝
，
所以PQ，
所以原命题“若x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“若x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
充分条件、必要条件的判断（师生共研）
（1）（2018·
高考北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（ ）
C．充分必要条件
（2）（2018·
高考天津卷）设x∈R，则“
<
”是“x3<
1”的（ ）
【解析】
（1）因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以（a－3b）2＝（3a＋b）2，所以a2－6a·
b＋9b2＝9a2＋6a·
b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·
b＝0，所以a⊥b；
反之也成立．故选C.
（2）由
，得0<
1，所以0<
x3<
1；
由x3<
1，得x<
1，不能推出0<
1.所以“
1”的充分而不必要条件．故选A.
【答案】
（1）C
（2）A
充分条件、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断．
（2）集合法：
根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：
适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法，如下：
①﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
②﹁q是﹁p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
③﹁q是﹁p的充要条件⇔p是q的充要条件；
④﹁q是﹁p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件．
1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，
所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．
2．已知p：
|x＋1|>
2，q：
5x－6>
x2，则p是q的（ ）
选B.由|x＋1|>
2得x<
－3或x>
1，所以p：
由5x－6>
x2得2<
3，所以q：
2<
3，所以p是q的必要不充分条件．
3．已知p：
x＋y≠－2，q：
x，y不都是－1，则p是q的（ ）
选A.因为p：
x≠－1或y≠－1，
所以﹁p：
x＋y＝－2，﹁q：
x＝－1且y＝－1，
因为﹁q⇒﹁p但﹁p
﹁q，所以﹁q是﹁p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.
充分条件、必要条件的应用（典例迁移）
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．
【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
[迁移探究1] （变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
解：
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，
所以
即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
[迁移探究2] （变结论）本例条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，
所以P⇒S且S
P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．
[注意] 在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
已知p：
－4<
x－a<
4，q：
（x－2）（x－3）<
0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．－1<
6B．－1≤a≤6
C．a<
－1或a>
6D．a≤－1或a≥6
选B.设q，p表示的范围分别为集合A，B，则A＝（2，3），B＝（a－4，a＋4）．因为q是p的充分条件，则有A⊆B，即
所以－1≤a≤6.
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略．对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路．
≤2，q：
1－m≤x≤1＋m（m>
0），且﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件．
由q：
1－m≤x≤1＋m，则q：
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>
0}．
由
≤2，解得－3≤x≤13，
所以p：
P＝{x|－3≤x≤13}．
因为p是q的充分不必要条件，则PQ，
所以m≥12.
故实数m的取值范围为[12，＋∞）．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．
1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
选C.法一：
设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．
法二（等价转化法）：
因为x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy
x＝y，所以“cosx＝cosy”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．
2．函数f（x）＝
有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a<
0 B．0<
C.
<
1D．a≤0或a>
选A.因为函数f（x）的图象过点（1，0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）的图象与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>
1.又因为{a|a<
0}{a|a≤0或a>
1}，故选A.
[基础题组练]
1．（2019·
山西45校联考）“若a≥2或a≤－2，则a2≥4”的否命题是（ ）
A．若a≤2，则a2≤4
B．若a≥2，则a2≤4
C．若－2<
2，则a2<
4
D．若a≥2，则a2<
选C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若－2<
4”．故选C.
2．（2019·
湖北五校联考）已知直线l1：
mx－2y＋1＝0，l2：
x－（m－1）y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的（ ）
选C.由直线l1与直线l2平行得－m（m－1）＝1×
（－2），得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.
3．（2019·
南昌摸底调研）已知m，n为两个非零向量，则“m·
n<
0”是“m与n的夹角为钝角”的（ ）
选B.设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则
θ<
π，则cosθ<
0，则m·
0成立；
当θ＝π时，m·
n＝－|m|·
|n|<
0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·
0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.
4．已知命题α：
如果x<
3，那么x<
5；
命题β：
如果x≥3，那么x≥5；
命题γ：
如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（ ）
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③B．②
C．②③D．①②③
选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
5．“（x＋1）（y－2）＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
因为（x＋1）（y－2）＝0，所以x＝－1或y＝2，所以（x＋1）（y－2）＝0⇒/x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒（x＋1）（y－2）＝0，所以是必要不充分条件．
6．对于原命题：
“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：
若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
2
7．若命题“ax2－2ax－3>
0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得
解得－3≤a<
0，故－3≤a≤0.
[－3，0]
8．已知函数f（x）＝2sin
（x∈R）．设p：
x∈
，q：
m－3<
f（x）<
m＋3.若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
因为p：
⇒2x－
∈
所以f（x）∈[1，2]，
又因为p是q的充分条件，
解得－1<
m<
4，即m的取值范围是（－1，4）．
[综合题组练]
河北石家庄模拟）下列选项中，说法正确的是（ ）
A．若a>
b>
0，则lna<
lnb
B．向量a＝（1，m），b＝（m，2m－1）（m∈R）垂直的充要条件是m＝1
C．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题
D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）·
f（b）<
0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题
选D.因为函数y＝lnx（x>
0）是增函数，所以若a>
0，则lna>
lnb，故A错误；
若a⊥b，则m＋m（2m－1）＝0，解得m＝0，故B错误；
（特例法）互为逆否的两个命题是等价命题，而角α的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°
，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；
命题“若f（a）·
0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题“若f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，则f（a）·
0”是假命题，如函数f（x）＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间（－2，4）内有两个零点，但f（－2）·
f（4）>
0，故D正确．故选D.
2．（应用型）（2019·
陕西西安模拟）若“x>
2m2－3”是“－1<
4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．[－3，3]B．（－∞，－3]∪[3，＋∞）
C．（－∞，－1]∪[1，＋∞）D．[－1，1]
选D.因为“x>
4”的必要不充分条件，所以（－1，4）（2m2－3，＋∞），所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；
③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；
④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
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