上海春考数学试卷.doc

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2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学试卷

一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.设集合,集合,则.

2.不等式的解集为。

3.若复数满足（是虚数单位），则。

4.若，则。

5.若关于、的方程组无解，则实数。

6.若等差数列的前项的和为，则=。

7.若、是圆上的动点，则的最大值为。

8.已知数列的通项公式，则。

9.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。

10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。

11.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为。

12.设，，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值

范围为。

二、选择题

13.函数的单调递增区间是（）。

（A）（B）

（C）（D）

14.设，“”是“”的（）。

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。

（A）三角形（B）长方形（C）对角线不相等的菱形（D）六边形

16.如图所示，正八边形的边长为.若为该正八边形上的动点，则的取值范围为（）

（A）（B）

（C）（D）

三、解答题

17.如图，长方体中，,.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

18.设,函数.

（1）求的值，使得为奇函数；

（2）若对任意成立，求的取值范围.

19.某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：

米），要求圆与、分别相切于点、，圆与、分别相切于点、.

（1）若，圆和圆的半径（结果精确到0.1米）；

（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。

如何设计圆、的大小，使总造价最低？

最低总造价是多少？

（结果精确到0.1千元）。

20.已知双曲线：

（），直线：

（），与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点.

（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；

（2）若，点的坐标为，且，求的值；

（3）若，求关于的表达式。

21.已知函数

（1）解方程；

（2）设，，证明：

且;

（3）设数列中，，，,求的取值范围，使得对任意成立.

2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学试卷

一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.设集合,集合,则.

【知识点】集合的运算

【解】，故.

2.不等式的解集为。

【知识点】绝对值不等式的解法

【解】，故原不等式的解集为。

3.若复数满足（是虚数单位），则。

【知识点】复数的基本概念、运算

【解】，，故。

4.若，则。

【知识点】诱导公式

【解】，故.

5.若关于、的方程组无解，则实数。

【知识点】线性方程组解的判定

【解】方程组无解直线：

与直线：

互相平行，所以，解得。

6.若等差数列的前项的和为，则=。

【知识点】等差数列的前项和，等差中项

【解】由得，所以，故.

7.若、是圆上的动点，则的最大值为。

【知识点】圆的一般方程，圆的性质

【解】由得，所以半径，故的最大值为2.

8.已知数列的通项公式，则。

【知识点】等比数列的前项和，数列极限

【解】由得首项，公比，

所以，

故

9.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。

【知识点】二项式定理

【解】令，则，解得；

所以展开式的通项

令，则,故所求的常数项为160.

10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。

【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想

【解】由得，所以，故且.

（1）若点位于椭圆的短轴的端点处，是等腰三角形，此时点有两个；

（2）若点在椭圆上，则；.，

所以,故以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；同理以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；

综上

（1）

（2）满足条件的点的个数为6个。

11.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为。

【知识点】排列、组合

【解】根据题意可知，若；，且，则

即的最小值为1，当时，

只有，所以在与中选出一个，在与中选出一个，在与中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为.

12.设，，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为。

【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质

【解】方法1令函数在区间上有两个不同的零点分别为、,

且，所以、，故、……（*）

令，则，即（）……（**）

故、是（**）的解，所以

于是

由（*）可知，即。

方法2

由于函数在区间上有两个不同的零点，则必有。

且，即，此时（当且仅当时，等号成立）

令，即

记，，则函数在区间上与函数的图像有两个不同的交点。

由于，再令得

（1）若，则，则

可行域为，其端点分别为、、。

所以当或时，；当时，。

此时；

（2）若，则，则，即，

所以，此时；

（3）若，则，则，

可行域为其端点分别为、、

当时，；当时，；当时，.此时，；

综上

（1）

（2）（3）可得，，即的取值范围是.

方法3令，则

故“函数在区间上有两个不同的零点”等价于“关于的方程在区间上有两个不同的根。

”

记，对称轴为，则其图像在区间上与轴有两个不同的交点，需满足条件：

可行域端点为、、，故当或时，；当时，，所以，即的取值范围是.

方法4要使得函数在区间上有两个不同的零点，必有，，否则不成立。

还需满足如下条件：

，以下解法同上。

二、选择题

13.函数的单调递增区间是（）。

（A）（B）

（C）（D）

【知识点】函数的单调性

【解】函数图像的对称轴为直线，且该抛物线的开口向上，所以该函数的单调递增区间为，故正确选项为B.

14.设，“”是“”的（）。

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

【知识点】分式不等式的解法，充要条件

【解】,所以是成立的充要条件.故正确选项为C.

15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。

（A）三角形（B）长方形（C）对角线不相等的菱形（D）六边形

【知识点】平面的性质、截面

【解】不可能是三角形，故正确选项为A

16.如图所示，正八边形的边长为.若为该正八边形上的动点，则的取值范围为（）

（A）（B）

（C）（D）

【知识点】平面向量的数量积

【解】，当点在处，取最小值，

此时；

当点在处，取最大值，

.

所以的取值范围是，故正确答案为B

三、解答题

17.如图，长方体中，,.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

【知识点】椎体的体积，异面直线所成的角

【解】

（1）四棱锥的底面为正方形,其面积;

由于底面,所以是四棱锥的高，

故，于是.

（2）由于,所以或其补角即为异面直线与所成角。

在三角形中，,

由余弦定理可得，,所以，

即，故异面直线与所成角的大小为.

18.设,函数.

（1）求的值，使得为奇函数；

（2）若对任意成立，求的取值范围.

【知识点】函数的奇偶性，指数函数的性质，分类讨论思想

【解】

（1）函数的定义域为R，

由于为奇函数，所以对于任意实数,均有成立

即对于任意实数都成立,所以

于是,即,所以.

（2），由于，故

①若，则，不等式恒成立；

②若，则，因为，所以，解得；

③若，则，此时不等式不是恒成立。

综上所述，实数的取值范围是。

19.某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：

米），要求圆与、分别相切于点、，圆与、分别相切于点、.

（1）若，求圆和圆的半径（结果精确到0.1米）；

（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。

如何设计圆、的大小，使总造价最低？

最低总造价是多少？

（结果精确到0.1千元）。

【知识点】三角比，建立函数关系式，基本不等式

【解】

（1）已知，得圆的半径为

（米）。

又,得圆的半径为

（米）。

（2）设圆和圆的半径分别为和，

由于,得，故

，，

因此，观景步道的总造价为

（千元）

当且仅当时等号成立，此时半径

答：

当观景步道和的半径分别设计为米和米时，总造价最低，且最低总造价

约为千元。

20.已知双曲线：

（），直线：

（），与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点.

（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；

（2）若，点的坐标为，且，求的值；

（3）若，求关于的表达式。

【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质，直线与双曲线的位置关系

【解】

（1）根据已知条件，可得，所以,故的方程为，其渐近线方程为.

（2）当时，的方程为，点

设，由得，，解得

又由点在上，解得，故直线的斜率.

（3）当时，直线的方程为，设

由得，

由已知可得，且

所以……（*），又，

故直线的方程为

由点在直线上，得（**）

将（*）代入（**）得，，即.

21.已知函数

（1）解方程；

（2）设，，证明：

且;

（3）设数列中，，，,求的取值范围，使得对任意成立.

【知识点】对数方程的解法，对数函数的性质，分类讨论的思想

【解】

（1）由得，，所以，解得，经检验是原方程的解，所以原方程的解集为。

（2）

①因为，故

即，所以；

②因为，故

即，所以；

综上①②可得，。

故

（3）

①当为奇数时，，且由

（2）可知，，

②当为偶数时，，且由

（2）可知，，

又，故

因此当为奇数时，，故；当为偶数时，，故；所以对于任意的正整数，均有成立。

对于任意的，当时，，，故，所以函数在区间上是增函数.

于是当对于任意的都成立时，当且仅当、且，即，解得，

由，解得，故实数的取值范围是.

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