考研数学专项练习之不等式证明内附详解Word格式.docx
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最后说说这种方法的思想吧。
我们应该都记得sinx的泰勒展开吧。
老师也应该说过，看见sinx的泰勒展开式，我们就应该明白为啥x→0的时候，sinx~x，sinx-x~-1/6x^3了。
因为这个时候，他们对应成为了同阶无穷小（此时是等价无穷小）。
于是立即联想到同阶无穷小的定义
所以，我们现在要求的不正是这个表达式中的K么？
于是上述方法油然而生！
下面两种方法相对比较稀有，但是很适合开拓视野，并且也是有一定的规律包含其中！
方法4
看了这个解法，也许很多人都一头雾水了。
因为表达式复杂，运算感觉也很复杂，我在这里做几点补充说明。
前面两步大家应该都没有任何问题，就是切化弦，然后分别泰勒展开。
可能对于第三步，就不太理解了。
确实，第三步是本方法的难点，也是最关键的一点。
利用的知识点很简单，就是1/（x+1）的幂级数展开式，如下图
然后把红颜色的看成一个整体，利用蓝色公式展开。
注意，展开的时候不要什么都不想就一口气往下弄，要思考下，题目要求几阶，我们展开到几阶就可以了！
因为红色的是一个整体，所以平方后，出现的最低次数都是4了，在乘以外面的最低次数1，也是5。
因此对更高阶我们可以直接用O6表示了（O6是指6阶及以上）。
后面的运算看似复杂并且莫测，实际上很简单，只需要利用我之前说的，想想你的目的是什么？
展开到最高阶为5。
所以，一旦出现6阶以上的，都可以用O6表示，这样就大大简化了运算的难度。
最后化简得答案！
方法5
看过了上面的那种解法，很多人觉得这种解法不如上面的直接。
不过，正因为这种方法别扭一些，使得它适用范围更广一些。
因为有些相除的式子没有对应的简单展开式，所以只能利用这种方法。
这种方法在一些泰勒展开中起着相当大的作用！
以上是我能够提供的5种方法了，大家也可以自己看看还有没有其他方法来做。
最后我们对这道题打一个总结。
通过这道题，我们学到了什么？
法1法2对比，我们知道在求某个定点的高阶导数，往往不会利用其一般函数式（能利用函数表达式求高阶导数的只有书上给出的那几种以及其变式），而是采用间接的方法来求。
如求arctanx的n阶导数。
法3不计算不太难，并且思路也不是特别古怪，算是把极限和泰勒联系在一起了的好方法。
通过这道题目，我们也可以看出，如果以后再出求极限题并且含有tanx，可以考虑使用这道题目的结论了（这也就是我说的记忆一些小结论）
如题
如果直接洛必达非常复杂，但是泰勒一下就出来了。
法4法5学会了多项式相除的处理方法，通法是法5，法4技巧性稍强一些。
最后，总的来说，要想学好证明题，对每道题目的分析要足够透彻。
今天选的题目确实难度不算大，但是里面包含的东西却不少。
如果真正掌握每一个部分，我觉得证明水平就提升了一步！
2今天来看看第二题吧。
题目本身不算难题，不过由于涉及的内容对考研的帮助特别大，又是典型中的典型，所以选出来说。
希望今天通过这道题目，能够让大家掌握如何思考这类题目！
这道题目的条件很明显，闭区间上连续，开区间上可导，第一反应应该就是中值定理了
中值定理有三个，那么该用哪个呢？
回一下就可以发现，三个中值定理都只会出现一个参数，但是题目中却出现了两个参数η，ξ。
那么怎么办？
这个时候就应该知道仅仅一个中值定理是解决不了此题的，所以考虑使用两个中值定理来做！
那么，到底该使用哪两个中值定理呢？
一般来说，中值定理的混用有3种，两个拉格朗日，一个拉格朗日一个柯西，两个柯西。
具体问题就要具体分析了。
所以对这道题目，我们有必要对式子进行变形，从中发现线索！
不知道大家看出来我变形的目标没有----就是将同一个参数集中在一堆，然后f放在分子，具体函数（在这道题中就是cosx与sinx）放在分母。
从这种形式，我们很容易看出来，这应该是柯西中值定理的应用
左边f’（η）/sinη就可以看做柯西中值定理的右边部分，这样一来，我们只需要把分子分母的原函数找出来，然后用柯西中值定理处理就可以出现我们结论中的东西了。
同理，右边的f’（ξ）/cosξ也可以再用一个柯西中值定理处理。
注意，这里左边就应该取端点值a,b，因为表达式里面还含有a,b。
至于那个tan（（a+b）/2）可以暂时不管，先分别用柯西中值定理处理后然后再看看是否能够出现那个式子，如果出现不了的话才考虑其他的，能够出现，命题基本上可以说是得证了！
于是下面就是解答过程
看来，只要将用两个柯西中值定理想出来了，后面的就是水道渠成了。
那个tan（（a+b）/2）也是自然而然就出现了。
最后总结一下这道题。
从这道题我们能够学到哪些东西？
首先，通过条件的分析，知道很可能使用中值定理，这是整体把握此题，让自己有个大致的方向。
然后就是对题目的分析了。
处理一个变量的中值定理的证明题，一般都是利用分析法，也就是通过条件倒推，最后看出需要构造什么样的辅助函数。
而处理两个变量及以上也是分析法，不过往往是对结构的分析了。
一般步骤就是先将同一个变量放在一起，然后看看那个中值定理的形式和此相同，即可决定使用那个中值定理了。
也就是说，这种多变量的中值定理证明题的突破口就在变量上面，做适当变形，分析出条件的使用。
至于那些常数（比如这道题里面的tan（（a+b）/2））完全可以不管，因为往往你将变量的来源分析清楚了，做一下处理，就可以得到这些常数了！
为了帮大家熟悉一下这类题型，我又找了几道题，大家自己练习下，如果哪道题不会的，跟帖提出来。
我可以帮你分析下思路。
三道题的难度是递增的，希望大家多多思考！
3题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。
其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。
拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。
怎么表达式这么复杂？
而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。
我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。
第一个表达式
首先要明白这个式子说的是什么东西。
读懂表达式，是你做证明题的根本！
不难看出，这个式子说的就是|f（x）|的在区间[a,b]的最大值。
写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！
我们并不关心最大值在哪一点取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为ξ，则这个式子可以化成|f（ξ）|.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。
第二个表达式
这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！
所以这个式子我们也可以简化一下成|f（η）|.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！
这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！
第三个表达式
这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。
所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理表达式1,2，使得能够得到表达式3！
为此，我们将表达式1和表达式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！
注意到左边两个式子|f（ξ）|-|f（η）|，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且ξ，η都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？
绝对值不等式！
|x|-|y|<
=|x-y|，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！
如此一来，我们便可以一口气做下去了。
于是得到下面的解答！
|
最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典
注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。
反用牛顿--莱布尼茨公式。
成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！
后面的就是定积分的基本性质
虽然这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。
最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。
知识1：
积分中值定理，在某些时候可以简化表达式
知识2：
绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式
知识3：
牛顿--莱布尼茨公式的逆用
考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！
思想方法1：
对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，这样便于你看清楚整个题目间的关系。
思想方法2：
不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续往下做。
思想方法3：
对公式的逆用。
有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。
其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。
可以联系积分与导数！
总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！
最后选了一道题目，供大家练习
4
这道题看上去就比较容易入手。
因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。
还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。
于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。
对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。
所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。
仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。
于是OK了。
利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！
第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。
先做一些处理
这一步也算是得力于第一问了。
就是利用y=x对称的这个性质！
这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这也是做题的一种策略！
可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且e^sinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是证明不等式，所以联想到放缩！
于是下一步考察e^x+e^（-x）这个函数的性质为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而幂函数正是很容易积分的形式。
于是，将e^x+e^（-x）在x=0点展开。
一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。
最后总结一下这道题目
题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。
但是有两个地方值得挖掘
（1）题目可以一般化！
方法与上面一模一样，这里不赘述。
不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/2π^2,只能证明大于等于2π^2
（2）对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩
得到的结果也更加强！
这一种方法给我们的启示就是：
对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。
适当放缩就可以得到答案！
下面就这个方法，给一道习题
此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！
5
看见这道证明题，首先第一步是对比一下两边的差异。
仔细观察积分限，被积函数，发现只有抽象函数f里面的表达式变了，而且变的很有规律！
可以说，相当于用一个变量去替换了x^2，所以此时此刻，我们很容易想到积分换元，于是
可是，这个时候麻烦又出现了。
原因有两点
（1）积分下限没改变但是上限变了
（2）多了个系数2
这个时候，我们得想办法处理，如何才能将这个东西向已知结论靠拢呢？
考虑到积分区间的可加性，我们不妨将这个积分的区间分开成两段，其分界点为a。
也许有人会问，你为什么想到要在a点取分界点，我个人认为原因有两点。
原因1：
我们要证明的式子最后的积分上限就是a,所以我主动构造出来一个，后面那个看能不能用什么方法处理使得也变成结论形式
原因2
注意到我给的这个式子，a对于抽象函数而言，相当于是一个比例中项，也就是平衡位置。
所以，选取这一点，对后面的问题处理也有一定帮助！
（不过这个理由有点抽象，需要一定的数学基础才能比较好的认知）不过理由1是很明确的，是证明题的要素之一：
朝着目标转化！
接下来就是对
这个表达式的处理了
还是同样的思想，我们应该朝着目标转化，也就是说，积分限需要变成1，a！
那么我们需要找到一个适当的变化，使得能够满足条件。
其次，在这种变换下，我们不允许f内的自变量形式发生任何变化，一旦变化，由于是抽象函数，所以根本无法处理。
在这两种条件的限制下，我们考虑下述变换。
这种变换的优势体现在两点：
一是f内部函数形式没变，二是积分限出现了a,1，也就是目标！
因此，我们有理由相信，这种方法是可以行得通。
PS：
其实，在找出这种方法为正确的变换之前，我也尝试了一些其他的变化
所以，证明不是一步就能看出来的，而需要不断去修正，去尝试。
具体解答如下
总结一下这道题目我们能够学习到的东西。
（1）证明题的根本思想，朝着目标转化！
（2）定积分换元的技巧，考虑结论的形式
（3）对于解题过程中，也需要不断的尝试。
失败不可怕，因为失败之中，也可能含有成功的线索！
下面两道练习题，大家有兴趣自己试试。
两道题都不太难，练习2还有多种方法。
6
这道题给人的第一感觉就是条件的式子很复杂，不过要证明的结论却很简单。
很容易注意到有下面这个关系存在
于是为了朝最后的目标迈进，我们需要将结论的式子变形，构造出我们挖掘出来的这个条件，于是利用恒等式：
但是，使用了恒等式后，无论怎么变形，后面的那个括号里面的式子就是无法完全和已知条件联系起来。
这个时候，我们需要想想，是不是开始的时候，方向有错误。
因为我们挖掘出来的条件是u+v+w=e，而结论中并没有e出现，加上现在这样做无法做下去了。
所以我们此时需要换个思路去做。
再仔细观察条件，给出了u,v,w的表达式，他们除了相加能够得到常数e之外，各自之间是否有联系呢？
如果对导数熟悉敏感一点的人就会发现，他们之间有求导后相等的关系！
这个时候你可能会很欣慰，因为又找出了一个隐含条件。
那么，这个条件该怎么用呢？
考虑到结论是证明一个表达式等于常数，我们不妨求导，一来是可以出现导数，而来如果导数等于0的话，那么就可以判断表达式本身就是一个常数了。
就这样，大胆的向下做！
解答过程
回头看看这个题目，到底给了我们多少启示呢？
首先，我们有时候需要自己去挖掘隐含条件，特别是条件给的很简单的时候
其次，隐含条件可能不止一个，所以尽可能挖，尤其是平时训练，这样有助于拓展视野。
不过考试的时候就根据实际情况找到相应的即可。
但是，有时候需要多个挖掘的隐含条件一起用才能奏效，这点注意下。
然后，这道题也有很朴素的一个方法，就是导函数为0，原函数为常数C。
最后，特别说明下，对级数求导后得到新级数如果能够与已知级数发生关系，那么，这个关系往往能够在解题中运用。
下面就看一道练习题吧。
7
这是一个积分等式问题。
处理积分等式的方法通常有几种，第一种是利用构造辅助函数来证明，另外一种则是利用分部积分来证明。
这道题，我们得仔细观察下形式是怎样的。
不难发现，这个形式与泰勒的展开式极其相似。
所以我们可以将关注的焦点放在泰勒展开上面。
于是，很自然的，考虑构造辅助函数
。
注：
这种构造方法是很常见的，无论是在证明积分不等式还是积分等式！
都可以先转换成积分上限函数，通过其性质来证明相关命题！
下一步是将这个积分上限函数展开成泰勒展开式。
这里又涉及到两个问题：
1）到底应该展开成几阶的。
这时候，我们应该看看题目要证的命题需要我们展开到几阶。
明显，题目里面出现了条件具有二阶导数，所以最多可以展开到二阶，而命题中也有2阶导数，所以，我们需要把这个积分上限函数展开到3阶！
2）应该在哪一点展开。
从结论中也可以看出，需要在（a+b）/2点展开。
于是，展开式如下：
这个时候，离最后的证明还差一些，就是怎么在这样的条件下得到需要的式子。
令x=b，这个时候可以得到需要的左边的式子。
但是右边还差一些
这时候可以再令x=a.此时，左边等于0，右边奇数次导数项和上面的式子的奇数次导数项互为相反数，而偶数次导数项相同，一旦相减，就离最后的结论更近了。
于是我们得到了如下的解法
最后一步利用连续介值定理（条件有说二阶导数连续）来做的，这一步看似简单实际上却是很重要而且很容易被大家忽略的一步。
不这样做，容易出现以下的一种错误！
这种方法是对知识掌握不牢固的同学容易犯的错误。
因为在泰勒公式里面，ξ是一个变量，准确的写法应该是f（ξ（x）），也就是说，ξ是关于x的函数，所以上面式子的最后一项的积分是积不出来的！
最后，对此题进行小结。
这道题是典型的将积分（不）等式先构造相应的积分上限函数来做的，其中涉及的知识有泰勒展开和连续性介值定理。
题目的条件告诉了我们，一般来说，一道题目是没有无用的条件，如果条件没有用完，那么很可能你的方法是错误的。
比如这道题的那种错误的解法！
没有用到二阶导数连续！
最后练习一道题吧！
8
初看题目的结论，我们很容易反应出一个思路---单调有界数列必有极限。
因为除此之外，我们也没有其他方法来处理。
可是看看这个题目的条件，给的并不是递推式，而是一个递推不等式。
这该如何处理。
我们先不妨把这个题分解成两步来做。
第一步先证明其是有界的，题目已经告诉这个数列是正值的，所以每一项都大于0！
然后根据不等式lnxn<
1-1/xn+1<
1可以得出xn<
e，所以这个数列也是有上界的。
至此，有界这一部分也成功做出来了，这也是比较容易的一部分！
下面来处理比较难的，单调性的处理！
首先不得不说，这道题目给的递推不等式，不能再使用递推式的那种方法来证，但是思想方法不变！
观察下条件的结构
一个是对数函数lnx，另一个是反比例函数1/x，从解方程的角度来看，这算是一个超越方程了，一般是无法解出来具体值的。
况且我们也没必要求出具体值。
我们不妨先将xn与xn+1的式子分别在不等号两端。
9
由于自己本人最近在做历年考研题真题，所以选出一些个人觉得比较典型的题目，难度比较大的证明题来分析。
虽然证明题的题型丰富，并且涉及的知识也是很广泛的。
不过考研毕竟也是一种对所学知识运用型的考试，不是创造性考试，所以考察的知识点也有范围，因此难免与前面的某些知识点重复，这里说明一下。
下面进行对题目的分析。
第一个小问很简单，是一个送分的小题。
只要构造出来辅助函数就解决问题，而辅助函数的构造可以说是套路化的，于是毫不费力的做了出来。
注意一定要指明构造的函数也是连续的，否则无法直接利用连续介值定理。
这一点是大家很容易忽略的，而这里却分布着得分点。
为避免出现不必要失分，平时许多注意。
然后看看第二问，里面出现了导数，而变量有两个，看起来与题目2挺相似的，不过仔细一看，却无法像题目2那样构造出原函数。
这个时候，我们有两条路需要走。
一种是想想有没有其他方法构造出其他的函数，转化成题目2。
还有一种就是完全跳出题目2的框子，重新开辟一条新路。
注意到证明的结论中η与ζ是两个独立变量，所以考虑使用两个中值定理是不二选择！
现在问题出来了，中值定理需要选择某些特定的点来进行使用，那么使用哪些点合适呢？
我想条件两个f（0）=0,f
（1）=1这两点用上是没问题的。
关键是还需要至少一个点。
到底如何进行选择？
这个时候就要充分利用考研数学给大家铺垫的桥梁了，亦即第一小问的结论！
虽然不知道能否行得通，不过我们应该尝试一下，看看使用中值定理之后，得到的结果是否能够证明结论。
最后一用就可以知道，行得通。
于是解答如下。
这个题目如果没有第一问的桥梁，我想是一道非常难的题目。
不过有了第一问，我们就应该多向那里靠拢，看看是否能用（一般来说都会用到的）。
这个题目的思想方法和技巧都没有太多新颖的地方，希望大家能够对一个题目的若干个问题之间的递进关系引起重视！
练习
10今天来看看不等式的题目。
不等式对于我们来说应该是再熟悉不过的了，初中的时候学过一次二次不等式，高中更是系统学习了不等式，在考研试题里面，也不乏不等式的题目。
不等式的题目相对比较灵活，综合性很强，是考察数学能力的一个很好的方式。
虽然很活，不过对于考研来说，这些题目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。
这里就大家比较容易忽略的某些方法说说自己的理解。
看到题目应该有一种很相似的感觉。
因为不等式的中间部分貌似就是拉格朗日中值定理。
于是，有一种冲动，试试这种方法是否可行。
尝试了一下，发现左边已经证明出来了。
这时应该比较欣慰，因为题目做出了一半。
于是心想着，右边应该同理也可以证明吧。
不管三七二十一，先试一下。
试完以后，悲剧了！
居然无法证明出来。
怎么办？
只有另找一种出路。
很多参考书上给的解答都是构造一个辅助函数，这个辅助函数就是将b换成x，成为一个关于x的函数，然后利用导数工具研究这个函数的性质从而得出最终的
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