归纳法证明不等式Word文档格式.docx
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1）例1．已知an?
2n?
1，求证：
本题要证后半节的关键是证an1a1a2n?
（n?
）23a2a3an?
122k?
1?
11?
中k?
右k即证k?
2?
2?
12而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。
而要证前半节的关键是证12k?
中k即证?
222?
1而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。
如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。
有时，f（n）?
）中f（n）,g（n）是以乘积形式出现，且f（n）?
0,g（n）?
0是显然成立的。
此时，可记?
1）g（k?
1），?
f（k）g（k）分别叫做左增倍，右增倍。
那么，用数学归结法证明由n?
k时，成立推导n?
1成立，可表述为f（k?
1）和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?
右k”若成立，既可用数学归纳法证明；
若不成立，则不能用数学归纳法证明。
因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。
第二篇：
归纳法证明不等式归纳法证明不等式由于lnx0则x1设f（x）=x-lnxf’（x）=1-1/x0则f（x）为增函数f（x）f
（1）=1则xlnx则可知道等式成立。
。
（运用的是定理，f（x）,g（x）0.且连续又f（x）=g（x）.则在相同积分区间上的积分也是=）追问请问这个“定理”是什么定理?
我是学数学分析的，书上能找到么?
回答能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。
叫做积分不等式性数学归纳法不等式的做题思路：
1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。
（含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。
）3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。
这题大于号应该为小于号。
当n=1,12显然假设n=k-1的时候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√（k-1）2√（k-1）则当n=k时，1+1/√2+1/√3+......+1/√（k-1）+1/√k2√（k-1）+1/√2-1）/（k（k+1）_）（k_+k_）/（k（k+1）_）=k/（k+1）=1-1/（k+1）∴原命题成立综上可得1/2_+1/3_+1/4_+…+1/n_1-1/n（n≥2，n∈n+）成立!
!
第三篇：
用数学归纳法证明不等式人教版选修4—5不等式选讲课题：
用数学归纳法证明不等式教学目标：
1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、难点：
1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
步骤：
1）归纳奠基;
2）归纳递推。
2、作业讲评：
习题：
用数学归纳法证明：
2+4+6+8+……+2n=n（n+1）如采用下面的证法，对吗？
证明：
①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k（k+1）当n=k+1时，2+4+6+8+……+2k+2（k+1）∴n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
学生思考讨论。
师生总结：
1）不正确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：
递推性。
二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。
（出示小黑板）例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？
证明你的结论。
｛an=n｝:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,……｛bn=2｝:
2,4,8,16,32,64,128,256,512,……学生观察思考师生分析解：
从第5项起，an＜bn，即n2＜2,n∈n+证明：
当n=5时，有52＜25，命题成立。
假设当n=k时命题成立即k＜2当n=k+1时，因为2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k22×
2k=2k+1所以，2＜2k+1即n=k+1时，命题成立。
由可知n2＜2n学生思考、小组讨论：
①放缩技巧：
k2+2k+1＜k2+2k+k；
k2+3k＜k2+k2②归纳假设：
2k2×
2例2证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│（n∈n+）knn22k分析：
这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
当n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。
假设当n=k时命题成立，即有│sinkθ│≤k│sinθ│当n=k+1时，│sinθ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤│sinkθ│+│sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=│sinθ│所以当n=k+1时，不等式也成立。
由可知，不等式对一切正整数n均成立。
学生思考、小组讨论：
①绝对值不等式:
│a+b│≤│a│+│b│②三角函数的有界性：
│sinθ│≤1,│cosθ│≤1③三角函数的两角和公式。
例3证明贝努力不等式:
如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有＞1+nx分析：
①贝努力不等式中涉几个字母？
②哪个字母与自然数有关？
（n是大于1的自然是数）证：
当n=2时，左边==1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．假设n=k时，不等式成立，即＞1+kx．师：
现在要证的目标是＞1+x，请同学考虑．生：
因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当k+1kn=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：
=，因为x＞k-1，所以1+x＞0于是＞．师：
现将命题转化成如何证明不等式≥1+x．显然，上式中“=”不成立．k+1k2n故只需证：
＞1+x．提问：
证明不等式的基本方法有哪些？
生：
证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．生：
证明不等式＞1+x，可采用作差比较法．-[1+x]=1+x+kx+kx-1-kx-x=kx＞0．所以，＞1+x．生：
也可采用综合法的放缩技巧．=1+kx+x+lx=1+x+kx．因为kx＞0，所以1+x+kx＞1+x，即＞1+x成立．生：
……师：
这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？
学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．将例3的格式完整规范．证明：
当n=2时，由x≠0得=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。
假设n=k时，不等式成立，即有＞1+kx当n=k+1时，k+1=＞kk=1+x+kx+kx＞1+x+kx=1+x所以当n=k+1时，不等式成立由①②可知，贝努力不等式成立。
三、课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．四、课后作业1．课本p53：
1，3，52．证明不等式：
第四篇：
数学归纳法证明不等式学案§
2.3用数学归纳法证明不等式学习目标：
1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.重、难点：
应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：
关于正整数n的命题（相当于多米诺骨牌）,我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取时命题（即n＝n?
时命题成立）（归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题（归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n?
的自然数n命题！
（结论）要诀:
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：
例1.用数学归纳法证明不等式sinn?
≤nsin?
.例2证明贝努力不等式:
已知x?
r,且x?
1，且x?
0，n?
n*，n≥2．求证：
（1+x）n1+nx.1；
例3证明:
如果n（n为正整数）个正数a1,a2,?
an的乘积a1a2?
an?
1,那么它们的和a1?
a2?
an≥n.三、当堂检测1、不等式2n?
n4对哪些正整数n成立？
求满足不等式（1?
1nn）?
n的正整数n的范围。
2、用数学归纳法证明2n?
n2（n?
n*）．§
2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名1、用数学归纳法证明3≥n（n≥3,n∈n）第一步应验证（）a.n=1b.n=2c.n=3d.n=42、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？
1,4,9,16,25,36,49,64,81,……｛bn=2｝:
2,4,8,16,32,64,128,256,512,……k2n3、用数学归纳法证明：
对于任意大于1的正整数n，不等式122?
132?
1n?
1n?
n都成立。
4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d?
0，自然数n?
2，求证：
cn?
2bn。
第五篇：
数学归纳法证明不等式教案§
1.关于正整数n的命题（相当于多米诺骨牌）,我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立（即n＝n?
时命题成立）（归纳奠基）；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立（归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n?
的自然数n命题都成立！
.证明：
假设当n=k时命题成立，即有│sinkθ│≤k│sinθ│当n=k+1时，│sinθ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤│sinkθ│+│sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=│sinθ│所以当n=k+1时，不等式也成立。
例2．证明贝努力不等式:
（1+x）n1+nx.证明：
当n=2时，由x≠0得2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
假设n=k时，不等式成立，即有k＞1+kx当n=k+1时，k+1=k＞=1+x+kx+kx2＞1+x+kx=1+x所以当n=k+1时，不等式成立由可知，贝努力不等式成立。
1,那么它们的和a1?
1求满足不等式（1?
）n?
nn2*2?
n（n?
n）．2、用数学归纳法证明证明：
当n=1时，2?
1，不等式成立；
当n=2时，2?
2，不等式成立；
当n=3时，2?
3，不等式成立．*n?
k（k?
3,k?
n）时不等式成立，即2k?
k2．假设当k?
1k222则当n?
1时，2?
2（2?
2）?
2k?
（k?
3，1222322kk?
3∵，∴?
3?
3）（k?
0，k?
1222k?
122?
1）2?
1）从而，∴．即当n?
1时，不等式也成立．由，可知，2?
n对一切n?
n都成立．四、课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．n2*
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