归纳法证明不等式.docx
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归纳法证明不等式
归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式的本质
数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f（n）?
g（n）（n?
n?
）的形式或近似于上述形式。
这种形式的关键步骤是由n?
k时，命题成立推导n?
k?
1时，命题也成立。
为了表示的方便，我们记?
左n?
f（k?
1）?
f（k），?
右n?
g（k?
1）?
g（k）分别叫做左增量，右增量。
那么，上述证明的步骤可表述为
f（k?
1）?
f（k）?
?
左k?
g（k）?
?
左k?
g（k）?
?
右k?
g（k?
1）例1．已知an?
2n?
1，求证：
本题要证后半节的关键是证an1a1a2n?
?
?
?
n?
（n?
n?
）23a2a3an?
12
2k?
1?
11?
中k?
?
右k即证k?
2?
2?
12
而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。
而要证前半节的关键是证
12k?
1?
1?
左k?
?
中k即证?
k?
222?
1
而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。
如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。
有时，f（n）?
g（n）（n?
n?
）中f（n）,g（n）是以乘积形式出现，且f（n）?
0,g（n）?
0是显然成立的。
此时，可记
?
左k?
f（k?
1）g（k?
1），?
右k?
f（k）g（k）
分别叫做左增倍，右增倍。
那么，用数学归结法证明由n?
k时，成立推导
n?
k?
1成立，可表述为
f（k?
1）?
f（k）?
?
左k?
g（k）?
?
左k?
g（k）?
?
右k?
g（k?
1）
和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?
左k?
?
右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。
因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。
第二篇：
归纳法证明不等式
归纳法证明不等式
由于lnx>0则x>1
设f（x）=x-lnxf'（x）=1-1/x>0
则f（x）为增函数f（x）>f
（1）=1
则x>lnx
则可知道等式成立。
。
。
。
。
。
。
。
。
（运用的是定理，f（x）,g（x）>0.且连续又f（x）>=g（x）.则在相同积分区间上的积分也是>=）
追问
请问这个“定理”是什么定理?
我是学数学分析的，书上能找到么?
回答
能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。
。
。
。
叫做积分不等式性
数学归纳法不等式的做题思路：
1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明
2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。
（含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。
）
3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。
这题大于号应该为小于号。
当n=1,1<2显然假设n=k-1的时候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√（k-1）<2√（k-1）则当n=k时，
1+1/√2+1/√3+......+1/√（k-1）+1/√k<2√（k-1）+1/√k如果有2√（k-1）+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√（k-1）=2（√k-√（k-1）=2/，即只要√（k-1<√k,而这显然。
所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n
已知f（n）=1+1/2+1/3+...+1/n（n属于正整数）,求证:
当n>1时,f（2^n）>n+2/2
（1）n=2时代入成立
（2）假设n=a时候成立
则n=a+1时
f（2^（a+1））=f（2^a）+1/（2^a+1）+1/（2^a+2）+1/（2^a+3）+……1/（2^（a+1））>
f（2^a）+1/（2^（a+1））+1/（2^（a+1））+1/（2^（a+1））+……1/（2^（a+1））
后面相同项一共有2^a个
所以上面又=f（2^a）+2^a/（2^（a+1））=f（2^a）+1/2
因为f（2^a）>（a+2）/2故上面大于<（a+1）+2>/2
因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立
1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n（n≥2，n∈n+）
“1/2^2”指2的平方分之1
证明：
数学归纳法：
1、∵当n=2时有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2
∴符合原命题。
2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k（k≥2，k∈n+）成立，
则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/（k+1）^2<1-1/k+1/（k+1）^2=（k^3+k^2-1）/（k（k+1）^2）<（k^3+k^2）/（k（k+1）^2）=k/（k+1）=1-1/（k+1）∴原命题成立
综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n（n≥2，n∈n+）成立!
!
。
第三篇：
用数学归纳法证明不等式
人教版选修4—5不等式选讲
课题：
用数学归纳法证明不等式
教学目标：
1、牢固掌握数学归纳法（请您继续关注好：
..）的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、难点：
1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：
1）归纳奠基;
2）归纳递推。
2、作业讲评：
（出示小黑板）
习题：
用数学归纳法证明：
2+4+6+8+……+2n=n（n+1）
如采用下面的证法，对吗？
证明：
①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈n，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k（k+1）
当n=k+1时，
2+4+6+8+……+2k+2（k+1）
∴n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结：
1）不正确
2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，
违背了数学归纳法本质：
递推性。
二、新知探究
明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。
（出示小黑板）
例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？
证明你的结论。
｛an=n｝:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,……｛bn=2｝:
2,4,8,16,32,64,128,256,512,……
（1）学生观察思考
（2）师生分析
（3）解：
从第5项起，an＜bn，即n2＜2,n∈n+（n≥5）
证明：
（1）当n=5时，有52＜25，命题成立。
（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立即k＜2
当n=k+1时，因为
（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1所以，（k+1）2＜2k+1即n=k+1时，命题成立。
由
（1）
（2）可知n2＜2n（n∈n+，n≥5）
学生思考、小组讨论：
①放缩技巧：
k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2
②归纳假设：
2k<2×2
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│（n∈n+）
kn
n2
2k
分析：
这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
证明：
（1）当n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│sinkθ│≤k│sinθ│
当n=k+1时，
│sin（k+1）θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│≤│sinkθ│+│sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=（k+1）│sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由
（1）
（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
学生思考、小组讨论：
①绝对值不等式:
│a+b│≤│a│+│b│
②三角函数的有界性：
│sinθ│≤1,│cosθ│≤1③三角函数的两角和公式。
（板书）例3证明贝努力（bernoulli）不等式:
如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx分析：
①贝努力不等式中涉几个字母？
（两个：
x,n）
②哪个字母与自然数有关？
（n是大于1的自然是数）
（板书）证：
（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．
（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）
（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx．师：
现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑．
生：
因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当
k+1k
n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：
（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞
k
-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．
师：
现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．
k+1
k2
n
故只需证：
（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：
证明不等式的基本方法有哪些？
生：
证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．
（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）
生：
证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]=1+x+kx+kx-1-kx-x
=kx＞0（因x≠0，则x＞0）．所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．生：
也可采用综合法的放缩技巧．
（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．
因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．
生：
……
（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）
师：
这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？
学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．
（板书）将例3的格式完整规范．
证明：
（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）
k
k
=1+x+kx+kx＞1+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立
由①②可知，贝努力不等式成立。
（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）三、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．四、课后作业
1．课本p53：
1，3，52．证明不等式：
第四篇：
数学归纳法证明不等式学案
§2.3用数学归纳法证明不等式
学习目标：
1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.重、难点：
应用数学归纳法证明不等式.
一、知识情景：
关于正整数n的命题（相当于多米诺骨牌）,我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取时命题（即n＝n?
时命题成立）（归纳奠基）
20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题（归纳递推）.
30.由10、20知，对于一切n≥n?
的自然数n命题！
（结论）
要诀:
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
二、数学归纳法的应用：
例1.用数学归纳法证明不等式sinn?
≤nsin?
.（n?
n?
）
例2证明贝努力（bernoulli）不等式:
已知x?
r,且x>?
1，且x?
0，n?
n*，n≥2．求证：
（1+x）n>1+nx.
1；
例3证明:
如果n（n为正整数）个正数a1,a2,?
an的乘积a1a2?
an?
1,那么它们的和a1?
a2?
?
?
an≥n.
三、当堂检测
1、
（1）不等式2n?
n4对哪些正整数n成立？
证明你的结论。
（2）求满足不等式（1?
1n
n
）?
n的正整数n的范围。
2、用数学归纳法证明
2n?
2?
n2（n?
n*）．
§2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名
1、用数学归纳法证明3≥n（n≥3,n∈n）第一步应验证（）
a.n=1b.n=2c.n=3d.n=42、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？
证明你的结论。
｛an=n｝:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,……｛bn=2｝:
2,4,8,16,32,64,128,256,512,……k
2n
3、用数学归纳法证明：
对于任意大于1的正整数n，不等式122?
132?
?
?
1n?
1n
?
n都成立。
4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d?
0，自然数n?
2，求证：
an?
cn?
2bn
第五篇：
数学归纳法证明不等式教案
§2.3用数学归纳法证明不等式
学习目标：
1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.重、难点：
应用数学归纳法证明不等式.
一、知识情景：
1.关于正整数n的命题（相当于多米诺骨牌）,我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立（即n＝n?
时命题成立）（归纳奠基）；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立（归纳递推）.
30.由10、20知，对于一切n≥n?
的自然数n命题都成立！
（结论）
要诀:
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
二、数学归纳法的应用：
例1.用数学归纳法证明不等式sinn?
≤nsin?
.（n?
n?
）
证明：
（1）当n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│sinkθ│≤k│sinθ│
当n=k+1时，│sin（k+1）θ│=│sinkθcosθ+coskθsinθ│
≤│sinkθcosθ│+│coskθsinθ│
=│sinkθ││cosθ│+│coskθ││sinθ│
≤│sinkθ│+│sinθ│≤k│sinθ│+│sinθ│=（k+1）│sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由
（1）
（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
例2．证明贝努力（bernoulli）不等式:
已知x?
r,且x>?
1，且x?
0，n?
n*，n≥2．求证：
（1+x）n>1+nx.
证明：
（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx
当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立
由
（1）
（2）可知，贝努力不等式成立。
例3证明:
如果n（n为正整数）个正数a1,a2,?
an的乘积a1a2?
an?
1,
那么它们的和a1?
a2?
?
?
an≥n.
三、当堂检测
1、
（1）不等式2n?
n4对哪些正整数n成立？
证明你的结论。
1
（2）求满足不等式（1?
）n?
n的正整数n的范围。
n
n2*2?
2?
n（n?
n）．2、用数学归纳法证明
证明：
（1）当n=1时，2?
2?
1，不等式成立；当n=2时，2?
2?
2，不等式成立；当n=3时，2?
2?
3，不等式成立．
*n?
k（k?
3,k?
n）时不等式成立，即2k?
2?
k2．
（2）假设当
k?
1k222则当n?
k?
1时，2?
2?
2（2?
2）?
2?
2k?
2?
（k?
1）?
k?
2k?
3，122232
2kk?
3∵，∴?
2k?
3?
（k?
3）（k?
1）?
0，（*）
k?
1222k?
122?
2?
（k?
1）?
k?
2k?
3?
（k?
1）2?
2?
（k?
1）从而，∴．即当n?
k?
1时，不等式
也成立．由
（1），
（2）可知，2?
2?
n对一切n?
n都成立．
四、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
n2*
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