随机变量Word文档下载推荐.docx

随机变量Word文档下载推荐.docx

《随机变量Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量Word文档下载推荐.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

联系

随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域

知识点三　离散型随机变量

1.定义：

所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.

2.特征：

（1）可用数值表示.

（2）试验之前可以判断其出现的所有值.

（3）在试验之前不能确定取何值.

（4）试验结果能一一列出.

类型一　随机变量的概念

例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？

并说明理由.

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量.

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数.

（3）明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数.

（4）明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间.

解　

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.

（3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.

（4）济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.

反思与感悟　随机变量的辨析方法

1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.

2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.

跟踪训练1　下列变量中，不是随机变量的是（　　）

A.一射击手射击一次命中的环数

B.标准状态下，水沸腾时的温度

C.抛掷两枚骰子，所得点数之和

D.某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

答案　B

解析　B中求沸腾时的温度是一个确定的值.

类型二　离散型随机变量的判定

例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.

（1）白炽灯的寿命ξ；

（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；

（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数.

解　

（1）白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量.

（2）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.

（3）不是离散型随机变量.因为水位在（0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.

（4）是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：

3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.

反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量

（1）依据具体情境分析变量是否为随机变量.

（2）由条件求解随机变量的值域.

（3）判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；

否则，不是离散型随机变量.

跟踪训练2　

（1）①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；

②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；

③一天内的温度为ξ；

④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（　　）

A.①②③④B.①②④

C.①③④D.②③④

解析　③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量.

（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

①列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值.

②若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.

解　①列表如下：

ξ

1

2

3

结果

获得3个黑球

取得1个白球，

2个黑球

取得2个白球，

1个黑球

取得3个白球

②由题意可得：

η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：

5×

0＋6,5×

1＋6,5×

2＋6,5×

3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.

类型三　用随机变量表示随机试验的结果

例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.

（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.

（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.

解　

（1）X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球.

（2）X＝3表示取出的球编号为1,2,3.

X＝4表示取出的球编号为1,2,4；

1,3,4或2,3,4.

X＝5表示取出的球编号为1,2,5；

1,3,5；

1,4,5；

2,3,5；

2,4,5或3,4,5.

反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.

跟踪训练3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.

（1）从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；

（2）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.

解　

（1）ξ可取0,1,2,3，

ξ＝0，表示遇到红灯的次数为0；

ξ＝1，表示遇到红灯的次数为1；

ξ＝2，表示遇到红灯的次数为2；

ξ＝3，表示遇到红灯的次数为3.

（2）ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.

1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是（　　）

A.出现正面的次数

B.出现正面或反面的次数

C.掷硬币的次数

D.出现正、反面次数之和

答案　A

解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.

2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D.取到次品的概率

答案　C

解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.

3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个.

答案　17

解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个.

4.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果.

解　根据题意可知ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.

1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.

2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：

（1）可用数来表示；

（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；

（3）在试验之前不能确定取值.

一、选择题

1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）

A.两次掷得的点数

B.两次掷得的点数之和

C.两次掷得的最大点数

D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差

解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.

2.下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；

②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；

③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；

④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（　　）

A.①②B.③④C.①③D.②④

解析　①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.

3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>

4”表示试验的结果为（　　）

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

4.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（　　）

A.Y＝5B.Y＝4

C.Y＝3D.Y＝2

5.一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　）

A.6B.5C.4D.2

解析　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.

6.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（　　）

A.25B.10C.15D.9

答案　D

解析　两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个.

二、填空题

7.下列变量中，不是随机变量的是________（填序号）.

①下一个交易日上证收盘指数；

②标准大气压下冰水混合物的温度；

③明日上课某班（共50人）请假同学的人数；

④小马登录QQ找小胡聊天，设

X＝

答案　②

8.从5张已编号（1号～5号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X，则X＝6表示的试验结果是_______________________________________.

答案　取出分别标有1,5或2,4的两张卡片.

9.一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种.

答案　21

解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C

种方法，即21种.

10.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到的号码为X，随机变量X的可能值有________个.

答案　24

解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A

＝24（个）.

11.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：

每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.

答案　－300，－100,100,300

解析　因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.

三、解答题

12.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.

解　ξ＝0,1,2,3,4,5.ξ＝k（k＝0,1,2,3,4）表示在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下.ξ＝5表示在途中没有停下，直达目的地.

13.小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果.

解　X的可能取值为6,11,15,21,25,30.

其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；

X＝11，表示抽到的是1元和10元；

X＝15，表示抽到的是5元和10元；