随机变量及其分布.docx
《随机变量及其分布.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其分布.docx（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
随机变量及其分布
第二章
随机变量及其分布
【基本要求】1、了解随机变量的概念；
2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；
3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；
4、理解分布函数的概念，并知道其性质；
5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；
6、会求简单的随机变量函数的概率分布；
【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；随机变量函数的概率分布•
【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算。
【学时分配】9学时
【授课内容】
§2.1随机变量
在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。
例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。
对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。
然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联
系数值来描述。
比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系,但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须
计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。
般地，如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系:
这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。
为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。
引例：
随机试验E1:
从一个装有编号为0，1,2，,，9的球的袋中任意摸一球。
则其样本空
间S=｛eo，e，,，目｝，其中e“摸到编号为i的球”，i=0,1,,,9.
定义函数:
ej—；i，即（ei）=i，i=0，1，,，9。
这就是S和整数集｛0，1，2，,，9｝的一个对应关系，此时•表示摸到球的号码。
从上例中，我们不难体会到：
1对应关系•的取值是随机的，也就是说，在试验之前，•取什么值不能确定，而是由随机
试验的可能结果决定的，但•的所有可能取值是事先可以预言的。
2■是定义在S上而取值在R上的函数。
同时在上例中，我们可以用集合｛ei:
"e）乞5｝表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事
件，因而可以计算其概率。
习惯上我们称定义在样本空间S上的单值实函数为随机变量。
这就
有了如下定义：
定义：
设随机试验E的样本空间为S=｛e｝，=（e）是定义在S上的单值实函数，若对任意实
数x，集合｛e:
（eV-x｝是随机事件，则称=（e）为随机变量（RandomVariable）。
定义表明随机变量=（e）是样本点•的函数，为方便起见，通常写为•，而集合｛e:
（e）^x｝
简记为｛如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为｛<5｝，则其概率为P｛<5｝=3/5
随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。
正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。
今后，我们主要研究随机变量和它的分布随机变量的分类
的取值只有有限个或可数个
可以取某一区间的任一数为值
§2.2离散型随机变量的概率分布
1.定义：
设•是s上的随机变量，若•的全部可能取值为有限个或可列无限个（即的全部
可能取值可一一列举出来），则称'为离散型随机变量。
若•的取值为Xi，（i=1,2,…），把事件｛、Xj｝的概率记为P「二X｝二p,i=1,2,…，则称'Xl,X2,],Xi,]为©的分布律。
fl,p2,,pi,丿
【注】：
由定义可知，若样本空间S是离散的，则定义在S上的任何单值实函数都是离散型随机
变量。
2.离散型随机变量的分布律满足下列性质:
（1）非负性：
Pi-0
-bo
⑵规范性：
api=1
ii
分布律也可用表格形式表示出来
X
77■八xz■■■
入1入2Ak
Pk
piP2…Pk…
如抛硬币试验
X
01
Pk
11
22
1
例1:
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以-的概率允许或禁
2
止汽车通过。
以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。
解：
以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为
X
0
123
4
Pk
p
2
（1—p）p（1—p）
P
（1-P）3P
（1-P）4
或写成
P{X=k}=（1-
\k
-p）
p,k=0,1,23,P{X二
=4}
=（1-P）4
1
以p=1代入得
2
X
0
123
4
Pk
0.5
0.250.1250.0625
0.0625
F面介绍三种重要的离散型随机变量的概率分布
1.（0—1）分布
设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布律是
P（X=k）=pk（1—p）Tk=0,1（0p1）
则称X服从（0—1）分布.
（0—1）分布的分布律也可写成
X
01
Pk
1-pp
满足（0—1）分布的试验应该只有两个结果。
2.二项分布:
设试验E只有两个可能的结果：
A及A，P（A）=p,P（A）=1-p=q（0：
：
p：
：
1）.将E独立地
重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验
例：
用X表示n次试验中A发生的次数，用A表示A在第i次试验中发生
{X二k}二AA人人i氏-AA2入人…乓/A
-AA2A3Ak2Ak3An-
务I'"nJ
应共有［种，它们是两两不相容的，故在n次试验中A发生k次的概率为pk（i—p）z，即
也丿lk丿
P{X=k}=npkqn」k=0,1,2,…n
也丿
显然
P{X=k}_0k=0,1,2,n
v*n1kz/*、彳
pq=（p+q）=1
Sk丿
注意到npkqn°刚好是二项式（p+q）n的展开式中出现pk的一项。
故我们称随机变量X服从参数也丿
为n，p的二项分布，记为X~b（n,p）
特别，当n=1时二项分布化为
P{X=k}二pkqjk=0,1
这就是（0—1）分布
例2某人进行射击，设每次射击的命中律为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的
概率。
解：
将每次射击看成一次试验。
射击中的次数为X,则X~b（400,0.02）.X的分布律为
P{X=k}二
400（o.O2）k（O.98）400」k=0,1,2,…400.
于是所求概率为
399
P{x_?
}“—P{x=0}_P{x=1}
=1-（O.98）400-400（0.02）（0.98）
直接计算上式是麻烦的。
下面给出一个定理
3.泊松定理设/>0是一常数，n是任意正整数，设npn-■，则对于任一固定的非负整数
■ke-
显然，定理的条件npn二，（常数）意味着当n很大时pn必定很小.因此，上述定理表明当
很大时p很小时有以下近似式
kn-k
p（1-p）
k!
其中np二■.
泊松分布：
随机变量X所有可能取值为0,1,2,…而取各个值的概率
■ke■'
P{X二k}ek=0,1,2…其中■0是常数，则称X服从参数为■的泊松分布,
k!
显然
P{X=k}_0k=0,1,2
:
:
:
:
kk
"P{X=k}eeeU
k£k=0k!
k=0k!
例3为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人（工人配备多了就浪费，配备少了有又要
影响生产），现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，在通
常情况下一台设备的故障可由一个人来处理（我们也只考虑这种情况），问至少需配备多少工人,
才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？
q=0.99
解：
设X={在300台设备中故障发生的次数}A={故障}需配备N个工人p=0.01
''300\k300」
P{X=k}=（0.01）k（0.99）k=0,1,2,…300
由泊松定理
P{XN}:
:
0.01
P{X_N1}:
：
:
0.01（=3）
查表可知P{X一9}=0.0038:
：
:
0.01
N+1=9N=8
课后作业：
1、仔细阅读P34-45；
2、作业：
P621,3,6,7
3、预习P45-49
§2.3随机变量的分布函数
离散型随机变量的取值是有限个或无限可列多个，而对于非离散型随机变量它则不能像离散型随机变量那样一一列举出来并用分布律来描述它。
在实际中我们有时研究的不是某一个确定的值的概率，而是研究在某一范围内的概率。
如：
当实数x:
x2时，有：
P{x1:
:
X我们要求P{xi：
：
：
X乞X?
}，只需求P{X下面引入随机变量分布函数的概念。
1.定义：
设X是一个随机变量，对-X.R,函数
F（x）=P{X对于任意实数x1.x2（捲：
x2），有P{捲：
X-x2}=P{X-x2}-P{X_捲}
=F（X2）-F（Xi）
因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间（Xi，X2〕上的概率。
这时概率与函数联系起来了，我们就可以通过函数来全面研究随机变量的统计规律性。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F（x）在x处的函数值就表示X落在区间（」：
x］上的概率。
2.性质：
分布函数F（x）具有如下性质：
1F（x）是不减函数，即对-x1：
：
：
x2•R，F（xJ—F（x2）
Proof:
对一&X2，有F（X2）-F（xJ=P{xi：
：
X空X2}-0。
因此，F（xJ乞F（X2）
2规范性：
0乞F（x）乞1且
F（」：
）=阿"）7
F（pm：
：
F（x）=1
3右连续性：
对-X。
•R,有limF（x）=F（x0）
+
（性质②，③的证明可参考其它有关的资料）
定是某随机变量的
注：
反之可证明：
对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它分布函数
3.运算：
若aR，~F（x）则有:
P{a：
：
_b}二F（b）-F（a）
P{：
：
a}?
limF（x）=F（a-0）
—
P{=a}=P{乞a}-P{:
:
a}二F（a）-F（a-0）
P{a}“-F（a）
P{_a}-F（a-0）
P{a乞P{a乞：
：
b}=F（b—0）—F（a—0）
P{a：
：
:
：
b}二F（b-0）-F（a）
例1:
设随机变量X的分布律为
X
-123
Pk
111
424
求X的分布函数，并求P{X今，吧沐今，P3X泊
解：
由概率的有限可加性，得所求分布函数为
一1兰xc2
4
3
即F（x）=<2兰xc3
4
1xA3
111p{XQ=F（2r
3553311
P{X}—F（—）-F（—）：
2222442
31
P{2EX乞3}=F（3）_F
（2）-P（X=2）=1__
42
般，设离散型随机变量X的分布律为P｛X=xj=Pk，k=1,2,…
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F（x）二P{Xmx}二'P{X乞乂讣,
Xk.3
F（x）八Pk
Xk总
例2：
一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。
试求随机变量X的分布函数
解：
设X=｛弹着点与圆心的距离｝
例3：
设某随机变量的分布函数为F（x）=A•Barctanx,试确定A,B的值
F（-：
：
）二limF（x）二lim（ABarctanx）二A-M/2B=0解：
由XIxi
F（p）=IjmF（x）=lim（A+Barctanx）=A+江/2B=1
得A=1/2,B=1/二
=■A=1/；B=1/2
课后作业:
1、仔细阅读P45-49;
2、作业：
P6416,17;
、预习P49-57
其中函数f（x）称为X的概率密度
注：
由该性质，在连续点
处有f（x）二
..F（x：
x）-F（x）
'xmo厂
P{x：
：
X乞x：
x}
ix
，从这里我
§2.4连续性随机变量的概率密度
1.定义：
对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负函数f（x）使得对任意的实数
x
X，，有F（X）二f（t）dt，则称X为连续型随机变量
函数，简称概率密度
由定义显然可知，F（x）连续。
2.F（x）的几何意义：
f（x）在几何上表示一条曲线称为分布密度曲线，则F（x）的几何意义是：
以分布曲线f（x）为顶,以X轴为底，从到x的一块变面积。
3.密度函数具有如下性质：
（1）非负性：
f（x）_0,xR
（2）规范性：
（x）dx=1
Proof:
由分布函数的性质有：
1=Jim._F（x）二_.f（t）dt
注：
任意一个满足以上二性质的函数，都可以作为某连续型随机变量的密度函数
（3）若f（x）在x处是连续的，贝UF'（x）二f（x）
们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称之为概率密度的缘故。
x2
⑷P{X!
：
：
X乞X2}=F（X2）-F（xJ二.f（x）dx（xjX2）}-P{X"}
x1
（5）若X是连续型随机变量，则-a•R,P{X二a}=0
a
事实上，-X0,有0乞P{X二a}EP{a-X：
：
X乞a}二f（x）dx
a—
a
而1四0a^f（x）dx=0P{X二a}=0
从此可知：
概率为0的事件不一定是不可能事件，称为几乎不可能事件；同样概率为1的事
件也不一定是必然事件。
这样，对连续性随机变量X有：
X2
P{x1:
:
:
X_x2}=P{%_X:
:
:
x2}=P{Xj：
：
Xx2}=P{Xj_X_x2}f（x）dx，
■■旳
P{X_x}=P{Xx}二xf（x）dx
注：
连续型随机变量的密度函数与其分布函数之间是一一对应的。
下面介绍几种重要的连续型随机变量.
"k」x0
（一）例1:
设随机变量X具有概率密度f（x）=」X>0，试确定常数k的值，并求概率
0x兰0
'xdx=k/3=k=3
P{X0.1}o
解：
由_；f（x）d^；ke'xd^k；e
J3x
P{X0.1}=°1f（x）dx二oi3eJ3xd^0.7408
数分布.
（二）均匀分布
匀分布.记为X~U（a,b）.
而只与小区间的长度有关
特性:
X在（a,b）内任意小区间内的概率与小区间所在的位置无关
Proof:
（c,d）（a,b）
dd1d—Cl
P（c：
：
X_d）f（x）dxdx=
ccb-ab-ab-a
均匀分布的分布函数
0
xx
F（X）=Lf（t）dt=Haf（t）dt
b
jaf（t）dt
xca0
x—aa_x：
：
b=
b-a
x_b1
图均匀分布密度和分布函数
图是均匀分布密度f（x）和分布函数F（x）的图形
例2：
设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧~1100欧.求R的概率密度及R落在950欧
~1050欧的概率.
解：
按题意,R的概率密度
900：
：
r:
:
1100
其它
1
f（r）=<1100-900
0
f（x）的图象如图,它具有以下的性质•
1.曲线f（x）关于x-」•对称（由性质3的几何意义）,那么对于任意h>0,有
P（.二一h：
：
：
X乞J：
：
：
X乞」h）
1
2.当x「■■时，1为最大值.
v'2n从图中可看到，x离」越远，f（x）的值越小•表明对于相同长度的区间，离「越远X落在该区间上
的概率越小.
（1）若二不变,改变「的值,图形的形状不发生改变,只是图形沿Ox轴平移,可见f（x）的位置完全
由参数J所确定,称「为位置参数.
⑵若」不变,改变二的值,由于最大值f（T二1_,越小，则f（J越大，图形越尖;
JICT
<2
则f（J越小.可见，f（x）的形状由参数匚所确定,称匚为形状参数.
⑶曲线在X--厂和X-•厂处各有一个拐点；当XI时函数（x）递增，当X「I时函数（x）递
减，在x八1处达到最大值1.、2-.
正态分布的函数
特别,当二-0^-1时称X服从标准正态分布,其概率密度和分布函数分别用「（X）,门（x）表示,
即有（X）二1e「2，门（X）二1
P2兀H2兀二
xu2
e2du.易知二"-x）=1-「：
（x）
a
人们已编制了叮-（X）的函数表,可供查用.
「般,若X~NCV^2）,我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布
X_[J.
引理若X~N（=二2）,则Z二一~N（0,1）.
2
i‘（x-a）
"1e^dx
-.2■:
-_
a
X_»
证：
FY（y）二P（Y^y）=P（一y）二P（X-」=y）二
CJ-
2、『22
1_?
y21y
fY（y）二Fy（y）二e2.=e2
2;：
,ttX—P
因此,z=——~N（0,1）.
CT
X_LL
若X~N2）则一~N（0,1）.这样正态分布与标准正态分布建立了联系
a
可以通过标
准正态分布来求正态分布的值.
1.F（x）=P（X乞x）=P（仝x）-：
-（匕'）可查表求值.
cracr
x1—PX_»x2—4
：
：
：
X乞x2）=P（」2）
2.二二二
=职^^）-①（3^）
acr
例如.设X~N（1,4）,查表得
不1.6—1不0—1
P（0：
：
X乞1.6）-：
：
」（）—：
：
」（）
22
-：
：
」（0.3）-：
：
」（-0.5）
=0.6179-[1-：
」（0.5）]
=0.6179-10.6915=0.3094
例3:
将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d0C,
X（以0C计）是一个随机变量，且X~N（d,0.52）,
（1）若d=90,求X小于89的概率.
（2）
液体的温度
若要求保持
液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？
解：
（1）所求概率为
X—9089—90冷89—90不
P（X^89）=P（）-：
」（）『：
"一2）
0.50.50.5
=1-：
：
」
（2）=1-0.9772二0.0228
（2）按题意需求d满足
+X—d80—d
0.99乞P（X80）=P（）=1一P（
0.50.50.5
不80—d
十叫）
0.5
0.5
「（辽辺）乞1一0.99二0.01
辽卫乞-2.327
d81.1635
0.5
0.5
为了便于今后应用，对于标准正态随机变量，我们引入了〉分位点的定义.
设X〜N（0,1）,若J满足条件P（XZ.）=-,0^.:
:
1,则称点Z为标准正态分布的上〉分位点•
如何求上〉分位点Z..呢？
已知P（XZJ=0.05求Z..
P（X==1-：
先求1_：
.再查表:
-=0.051—〉=0.95
则Zq=1.645即Z0.05=1.645
课后作业：
1、仔细阅读P49-57；
2、作业：
P6418,20,21,22；
3、预习P57-62
2.5随机变量的函数的分布
人们已经掌握数百种概率分布，其中每一种概率分布都有各自的应用领域.在众多的分布中，
我们已经介绍了一些最基本和最常用的概率分布，多数分布都是作为具有一定分布的随机变量的
函数的分布导出的.这一节的内容是，根据随机自变量的概率分布求其函数的概率分布的方法.随机变量函数的分布的一般求法
1、离散型情形设X是离散型随机变量，其一切（有限或可数个）可能值为'x1,x2^/.为求随机变量Y=g（X）的概率分布，首先由函数关系y=g（x）列出Y的一切可能值、宀，?
然后分别求概率P（1）已知P収=谷丄a（i=1,2，…），若函数y二g（x）的一切可能值两两不等，则
P「Y=g（xj丄pdi=1,2,）
就是Y的概率分布；
（2）若对于某些X的可能值｛xk1/,Xkr｝，y=g（Xkj）等于同一值yk，贝U
p2=y「=p仝=耳；…=xJ=Pk1宀」Pkr.
例1：
设随机变量X具有以下的分布律.试求Y=（X-1）2的分布律。
X
-1012
Pk
0.20.30.1
0.4
解：
丫所有可能取的值是0，1,4由
P{Y=0}=P{（X-1）2=0}=P{X=1}=0.1
P{Y=1}=P{X=C}P{X=2}=0.7
P{Y=4}=P{X=—1}=0.2
即得丫的分布律为
X
014
Pk
0.10.70.2
2、连续型情形设X是连续型随机变量，则随机变量Y二g（X）可能是连续型的，也可能是
离散型的.
（1）若函数y=g（x）只有有限或可数个可能值，按上述离散型情形处理；
⑵若函数y
升级会员 