1991真题及解析Word格式.docx
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i/-2/'
3线性表示,且表达式不唯一？
（3）一：
不能由宀，〉2,〉3线性表示?
十、（本题满分6分）
222
考虑二次型f^Xi4x24x3•2,X1X2-2X1X3•4X2X3.问，取何值时，f为正定次型.
十一、（本题满分6分）
试证明n维列向量组线性无关的充分必要条件是
0（：
0（2
III
«
1T«
n
D=
T
2«
卡
a2a2
a2«
i
式0,
na1
na2
Ot„Ctnnn
其中GT表示列向量C（i的转置，i
=1,2,111,n.
十二、（本题满分5分）
一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.
十三、（本题满分6分）
假设随机变量X和Y在圆域Xy<
r上服从联合均匀分布.
（1）求X和Y的相关系数:
:
;
（2）问X和Y是否独立？
十四、（本题满分5分）
设总体X的概率密度为
■a
a-1--x
了“axe，xaO，
P（x；
）=
I0，x^0,
其中0是未知参数，a0是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本
X1,X2」l（,Xn，求'
的最大似然估计量?
.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题（本题满分15分，每小题3分.）
（1）
【答案】esinxycosxyydxxdy
【解析】方法一：
先求出两个偏导数
和一,然后再写出全微分dz,
x刊
sinxy
cosxyy二yecosxy
cosxyx二xecosxy
所以dz-dx_dy=yesinxycosxydx■xesinxycosxydy
excy
=esinxycosxy（ydxxdy）.
方法二：
利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算
sinxysinxysinxysinxy
dz二deedsinxy=ecosxydxy二ecosxyydxxdy.
⑵【答案】a=-1,b=-1,c=1
【解析】由于曲线fx与gx都通过点-1,0,则
lf「1=-1-a=0
g-1=bc=0
又曲线fx与gx在点-1,0有公切线，则「-1，即
f"
（-1）=（3x?
+a{=3+a=g"
（-1）=2bxx_j=—2b,
亦即3•a二-2b,解之得a=-1,b=-1,c=1.
⑶【答案】x二一n•1；
—e」1
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式uvn=7C：
ukvn“可知，
k=0
f（n）（x）=c0x（ex）（n）Cx（ex）zdx（ex）（2-C：
x（n）ex
二xexnex011（0=（xn）ex.
对函数gx=fnx求导,并令gx=0,得
gx二f（n°
（x）=（xn1）ex=0,
解之得驻点n1,且g（x）：
°
x_（nO函数g（x）严格单调递减；
g（x）:
>
0,x>
—（n+1）,函数g（x）严格单调递增；
故x=-（n+1）是函数g（x）=f（nXx）的极小值点,极小值为
g（_n_1）=f（）（_n_1）=（_n_1■n）e-_e
【解析】利用分块矩阵，按可逆矩阵定义有
巾A
筑X2、
'
E0”
B0」
1X3X4」
0E」
fAX^E,
由对应元素或块相等
*=0,
BX^0,
BX2二E.
11
从A和B均为可逆矩阵知X3=A—,X4=0,Xi=0,X2=B—.故应填
⑸【答案】
-11
3
P{X=x}
0.40.40.2
【解析】因为随机变量X的分布函数F（x）在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以
在F（x）的连续点，P{X=x}=0,只有在F（x）的间断点处X取值的概率才大于零，且
P{X=x}=P{X^x}-P{X:
x}=F（x）-F（x-0）,则
P{X--1}=F（-1）-F（-1-0）=0.4,
P{X=1}=F
（1）—F（1—0）=0.8—0.4=0.4,
P{X=3}=F（3）-F（3-0）=1-0.8二0.2.
15分,每小题3分.）
因此X的概率分布为
二、选择题（本题满分
（1）
【答案】
（A）
令t,则
limxln（1丄）lim―洛lim—=0,
xT•xt—.：
「’tt—.：
，'
1t
都不正确.
（n=1,2川）,则可知（B）不正确.
4n
（B）.
⑶【答案】
【解析】由■为A的特征值可知，存在非零向量X,使得AX二■X•
两端同时乘以A*,有A*（九X）二A*AX,由公式A*A=A得到九A*X=AX•于是
按特征值定义知■」A是伴随矩阵A*的特征值.故应选（B）.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：
设A是n阶矩阵，若存在数•及非零的n维
列向量X使得AX二，X成立，则称■是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征向量•
⑷【答案】
（D）
【解析】AB=AUB,如果aUB-门，则AB-,即A与B互不相容；
如果
AUBI.；
则A-,即A与B相容•由于A、B的任意性，故选项（A）（B）均不正确•
任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和•又因AB=、，从而
A-B=AB=A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念，不要错误地把A、B互不相容
等同于A、B相互独立而错选（C）.
A,B不相容，PA,PB均不为零，因此
PABiuPd〔=0,PAB-PAPB.
即（C）不正确•用排除法应选（D）.
事实上，PA-B]=PA-PAB]=PA•
（B）
【解析】由于E（XY）二E（X）E（Y）,因此有
cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0,
D（XY）=D（X）2cov（X,Y）D（Y）=D（X）D（Y）.
故应选（B）.
【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零，则下面四个命题是等价的:
1）E（XY）二E（X）E（Y）；
2）D（XY）=D（X）D（Y）；
3）cov（X,Y）二0；
4）X和Y不相关，即X和Y的相关系数r=0.
这是1：
型未定式极限.
lim
x=0
exe2x71e
ln
=lime
x_0
exe2
Z0宀2
x0,x
讪山住e2x诃』x）」nn
-ex0
屛皿e2x川「inn
^—0
x2xnx
e+2e+川+ne
ex+e2x+川+enx
所以lim
x]0
exe2^l|enx
由于
x2x
记y=e—
ex-e2xIII
nx
e
X丄2x丄舁]丄nxv_x
e+e+I+e彳x
-1
理—,则当x>
0时y>
0,从而
x0
fX、2x.j.
e+e+川+e
而四1+y）^e,所以叫］
（1y）
划—四（1+y）
xlimy=ex0x.
又因lim—imC1）（/"
）川（几1x〕0Xx「0
x—0
」lim—1lim
n||^x）0xx刃
ex■e2^J|J■e
2x
n-1
=e2
入A
「5
讥2
四、（本题满分5分）【解析】
f=〔,得y=b1_
由
a
积分区域D如图阴影部分所示.
一、2
因此
=ydxdy-
D
ab1_xa
tdxV
E
2
12
ydydxy
•012
dx'
令t=1
x,有x=a（1-t）2,dx=—2a（1-t）dt,故
b2
I
01-
x4
dx=^ft42a（t-1）dt
ab2
【解析】将原方程化为
dy_x2y2
dxxy
56J
030
由此可见原方程是齐次微分方程
令y=ux,有二u
dx
du
•q,将其代入上式
dydu1u
得u•x—
dxdxu
du1,dx12.
化简得x,即udu.积分得u=InxC.
dxux2
将u=丫代入上式，得通解y2=2x2（lnx+C）.
由条件yx』=2e,即4e2=2e2（Ine+C）求得C=1.
所以y2=2x2（lnx1）所求微分方程的特解.
【解析】先求出曲线L1和L2的交点，然后利用定积分求出平面图形面积3和S2,如图:
y=1-x0_x_1
由2得
［y=axa0
S=［尹［（1_x2）_ax21dx=严「1—（1+a）x2〕dx
1+a3"
|齐2
二xx二
_3o3.FI
22
又因为S=23,所以—=2’,即+a=2,解得a=3.
33j1+a
【解析】方法1:
总收入函数为
22R=pgP2q2=24P1-0.2p110p2-0.05p2,
总利润函数为
L=R_C=伽1P2q2】；
-（3540qq?
——
=32p1-0.2p112p2-0.05p2-1395.
由极值的必要条件，得方程组
礼
—=32-0.4山=0,
即i
L
12-0.1p2=0,
4
即p,=80,p2=120.
因驻点的唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当p^80,p^120时，厂
家所获得的总利润最大，其最大总利润为
L」0」20=（32山-0.2p：
+12p2-0.05p22-1395）=605
P1=80,P2=420'
r1r1L2L2丿p^=80,p^420
方法2：
两个市场的价格函数分别为
p<
）=120-5q,p2=200-20q2,
R二pgp?
q2二120-5qq「200-20q2q?
L=R-C二120-5qq「200-20q2q：
-||3540qq?
22
—80q1-5q1'
160q^~20q?
…35.
cL
=80-10q<
i=0,
角1='
q1=8,q2二4.
160—40q2=0,
因驻点的唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q=8,q2=4,即山=80,
P2=120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为Llq^qm=605.
【解析】因为x（0,：
）,所以f（x）=（V-）x0.
1xxln（1七）
f（x）=
（1）=ex,两边对x求导，得
令g（x）=1n（「一）,为证函数f（x）为增函数，只需f（x）.O在（0,•：
）上成
x1+X
立”即g（x）O,X.（0,：
）•
方法一：
利用单调性
f（x）=
（1）xg（x）0,x（0,
于是函数f（x）在（0,：
）单调增加.
利用拉格朗日中值定理.
1X+1
令ln
（1）=1n（）=1n（1x）-Inx=u（x1）-u（x）,xx
所以在区间（X,X・1）存在一点,使得
u（x1）-u（x）二u（）（x1-x）二u（）二丄,
即ln
（1）.又因为0:
x:
111
故对一切x•（0,■：
）,有f（x）=
（1）x[ln
（1）]0.函数f（x）在（0,■：
）单调
XX1+x
增加•九、（本题满分7分）
【解析】设Xr^-X^2X3〉3二：
将分量代入得到方程组
（1+扎）X1+X2+X3=0,
X11X2X3Y；
X1+X2+（1+入）X3=入.
对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有（-1、-■[I『加到第二行和第三行上,有
~1+&
1B
-
1+&
110"
1+兀
1泳
一&
扎0；
&
“龍r2
龍2—
_亠・a2
〕1
1+k:
丸
1'
一丸一2丸
—k0：
扎
再第二行加到第三行上，所以有
1■110
T—九丸0：
丸
2-2
■一九一3九00：
人+扎」
若■-0且23-0,即■-0且„-3,则rA=rA=3,方程组有唯一解,即
[可由m/'
2/'
3线性表示且表达式唯一.
若’=0,则rA]=rA[=1：
3,方程组有无穷多解，一：
可由线性表示，且表达式不唯一.
若’=3,则rA[=2,rAi；
=3,方程组无解，从而不能由：
d^,：
线性表示•
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是mn矩阵，线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵A-iAb的秩，即是r（A）=r（Z）（或者说，b可由A的列向量rrNlFn线表出，亦等同于〉1,〉2」l（,〉n与〉1,〉2」l（,〉n,b是等价向量组）•
设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b,则
（1）
有唯一解
—
r（A）二r（A）二n.
⑵
有无穷多解
r（A）二r（A）:
n.
⑶
无解
r（A）1=r（A）.：
=b不能由A的列向量[“dlllLn线表出
【解析】关于判定二次型正定这类题目时，用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷
1■-1
二次型f的矩阵为A=人42,其顺序主子式为
「124一
1&
、2、2、
心1=1，心2==4—人，心3=A=—4丸一4丸+8.
九4
正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有
1z,,
鸟>
0,己2==（2-扎）（2中入）a0,A3=|A=-4（扎一1）（九十2）>
0.
丸4
解出其交集为（-2,1）,故…（一2,1）时，f为正定二次型.
【相关知识点】二次型的定义：
含有n个变量x^,x2^|,xn的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式）
nn
f（X1,X2，川，Xn）=EEajXXj,其中aij=aji,
称为n元二次型，令x=（Xi,X2,lil,XnT，A=（aij）,则二次型可用矩阵乘法表示为
fXi,X2,|"
Xn二XTAX,
其中A是对称矩阵AT=A,称A为二次型fx1,x2^|,Xn的矩阵.
卜一、（本题满分6分）
【解析】记A=（〉1,〉2」ll,〉n）,则：
SdJldn线性无关的充分必要条件是A=0.
从而取行列式，有D=
有非零解.特别地，n个n维向量〉1「2」l（」n线性相关的充分必要条件是行列式
【解析】首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率.设事件A二“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i=1,2,3,且A相互独立.
p（A）=p（A）=2.
事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i-1.所以有
p「x=oiaJ,
pfx=1.；
=P入A二pA1pA=122,
pfx=pA1入A3=pA；
pA2pa^=123,
Sd是区域D的面积,Sd=曲,所以（X,Y）的联合密度
由连续型随机变量边缘分布的定义，X和Y的概率密度f1（x）和f2（y）为
2II
f2（八【（“dxjf"
T（八r）.
由一维连续型随机变量的数学期望的定义:
4^0r-七◎
EX二xf（x）dx,E[g（X）]-g（x）f（x）dx.
r
若f（x）为奇函数，积分区间关于原点对称，则积分为零，即是f（X）dx二0.
.r
故EX=■r2「x2dx,EY二二^」yr2「y2dy,
二rt二rr
由于被积函数为奇函数，故EX=EY=0.
cov（X,Y）=EXY-EXEY^dxdy,
x2心Mnr
因为此二重积分区域关于x轴对称，被积函数为y的奇函数，所以积分式为0.
cov（X,Y）=0.由相关系数计算公式t二cov（X,Y）_,于是x和丫的相关系数：
-=0.
JdxVdy
（2）由于f（x,y）=fi（x）f2（y）,可见随机变量X和Y不独立.
【解析】最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似
然函数.
现题设给出概率密度函数f（x;
■）,则似然函数
垃濟n
L（X1,X2」l|,Xn；
■）=（■：
•）neV-:
X「‘，
im
InL=nln（'
：
）Ini]-■'
、X「.
i#iT
（由于InL是单调递增函数，L取最大与InL取最大取到的二是一致的，而加对数后能把连乘转换成累加，这样求导，找极值比较方便）.
由对数似然方程二皿=n一Jx<
=0,
、Xi：
i好
「•/.i2
得•的最大似然估计值■?
二.所以得•的最大似然估计量为
ZXia
i=1
【相关知识点】
设X1,X2，…，Xn是相应于样本X1,X2，…，Xn的一组观测值,则似然函数为:
L⑺二f（治出，|l|,Xn；
I丨f化；
二）二f（X1；
^）f&
2门川丨f（Xn；
T.
17
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