届高三高考数学一轮复习讲义全套打包下载可编辑第11章 统计与统计案例Word格式.docx

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　（4）×

2．小题热身

（1）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A．总体

B．个体

C．样本容量

D．从总体中抽取的一个样本

答案　A

解析　从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．

（2）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）

A．50B．40C．25D．20

答案　C

解析　由已知得，分段的间隔为＝25.

（3）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2<

p3B．p2＝p3<

p1

C．p1＝p3<

p2D．p1＝p2＝p3

答案　D

解析　因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等．故选D.

（4）（2018·

全国卷Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

答案　分层抽样

解析　由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样．

题型　简单随机抽样

1．下列抽样检验中，适合用抽签法的是（　　）

A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案　B

解析　A，D中总体的个体数较多，不适宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜用抽签法．故选B.

2．（2018·

河北模拟）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A．08B．07C．02D．01

解析　选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.

3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　根据题意，＝，解得n＝28.

故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝.

1．简单随机抽样的特点

（1）抽取的个体数较少．

（2）是逐个抽取．（3）是不放回抽取．（4）是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

2．抽签法与随机数法的适用情况

（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．

（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；

二是号签是否易搅匀．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的为（　　）

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

解析　A，B是系统抽样，C是分层抽样，D是简单随机抽样．

2．某班对期中考试成绩进行分析，利用随机数法从全班64名同学中抽取7人进行分析，先将64名同学按01,02,03，…，64进行编号，然后从所给随机数表第1行第8列的数开始向右读，则选出的7名同学的编号为________．

6301637859'

1695556719'

9810507175

1286735807'

4439523879

3321123429'

7864560782'

5242074438

1551001342'

9966027954

答案　55,56,05,07,17,51,28

解析　从随机数表第1行第8列的数字8开始向右读，选出的7名同学的编号为55,56,05,07,17,51,28.

题型　系统抽样

（2019·

徐州模拟）从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（　　）

A．8B．10C．12D．16

解析　从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为42－16×

2＝10.故选B.

条件探究1　把举例说明中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求a＋b.

解　由举例说明中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.

条件探究2　把举例说明中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”，则抽到的最小编号是多少？

解　利用等差数列前n项和公式S5＝5a1＋×

16＝185，得a1＝5.

系统抽样的注意点

（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

（2）若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．

（3）抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．

（4）如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．（2018·

湖北黄冈中学模拟）某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（　　）

A．16B．17C．18D．19

解析　∵从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，

∴系统抽样的分段间隔为＝25.

设第一组随机抽取一个号码为x，

则第18组的抽取编号为x＋17×

25＝443，∴x＝18.

2．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．

答案　3

解析　系统抽样的抽取间隔为＝6.

设抽到的最小编号为x，

则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＋（24＋x）＝75，所以x＝3.

题型　分层抽样

角度1　求总体容量

1．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝________.

答案　200

解析　由题意可得＝，故N＝200.

角度2　求每层中的样本数量

吉林通化模拟）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：

“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？

”其译文为：

今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？

则下列说法错误的是（　　）

A．甲应付51钱

B．乙应付32钱

C．丙应付16钱

D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

解析　依题意由分层抽样可知，100÷

（560＋350＋180）＝，

则甲应付：

×

560＝51（钱）；

乙应付：

350＝32（钱）；

丙应付：

180＝16（钱）．

分层抽样问题类型及解题思路

（1）求某层应抽个体数量：

按该层所占总体的比例计算．

（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：

根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

（3）分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”．

提醒：

分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·

（i＝1,2，…，k）个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

南昌模拟）某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中，抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n＝（　　）

A．860B．720C．1020D．1040

解析　由已知条件得，抽样比为＝，从而＝，解得n＝1040.

2．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（　　）

A．1030人B．97人C．950人D．970人

解析　由题意可知抽样比为＝，

设样本中女生有x人，则x＋（x＋6）＝200，

所以x＝97，该校共有女生＝970人．

第2讲　用样本估计总体

[考纲解读]　1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点．（重点）

2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；

能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．

3.会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．（难点）

4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题.

1．用样本的频率分布估计总体分布

（1）频率分布：

样本中所有数据（或者数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据（或者数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布．

（2）作频率分布直方图的步骤：

①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图．

在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.

（3）频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

②总体密度曲线：

随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．

（4）茎叶图：

统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

2．样本的数字特征

（1）众数、中位数、平均数

（2）方差和标准差

方差：

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，

标准差：

s＝.

（3）平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；

标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

3．各种统计表的优点与不足

（1）一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．（　　）

（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．（　　）

（3）在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．（　　）

（4）茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．（　　）

答案　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

（1）（2017·

全国卷Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：

kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数

解析　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.

（2）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（　　）

A．91.5和91.5B．91.5和92

C．91和91.5D．92和92

解析　由茎叶图可知，这组数据的中位数是×

（91＋92）＝91.5，平均数是×

（87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96）＝91.5.

（3）如图所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20]内的频数是（　　）

A．50

B．40

C．30

D．14

解析　因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×

5－0.1×

5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×

100＝30.故选C.

（4）已知一组数据87,89,90,91,93，则该组数据的方差是________．

答案　4

解析　该组数据的平均值为×

（87＋89＋90＋91＋93）＝90，所以该组数据的方差为×

[（87－90）2＋（89－90）2＋（90－90）2＋（91－90）2＋（93－90）2]＝4.

题型　样本数字特征的计算及应用

1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）

A．2.5B．－2C．2D．－2.5

解析　将105输入为165，多输入了60,60÷

30＝2，所以求出的平均数与实际平均数的差是2.

九江二模）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b（a>

0）的方差为8，则a的值为（　　）

A．1B.

C．2D．4

解析　根据方差的性质可知，a2×

2＝8，解得a＝2.

3．一组数据1,10,5,2，x,2，且2<

x<

5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为________．

答案　9

解析　根据题意知，该组数据的众数是2，

则中位数是2÷

＝3，

把这组数据从小到大排列为1,2,2，x,5,10，

则＝3，解得x＝4，

所以这组数据的平均数为＝×

（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4，

方差为s2＝×

[（1－4）2＋（2－4）2×

2＋（4－4）2＋（5－4）2＋（10－4）2]＝9.

条件探究　把举例说明2中的“方差”改为“平均数”，“b”改为“2”，其他条件不变，试求a的值．

解　因为x1，x2，…，xn的平均数是2，所以ax1＋2，ax2＋2，…，axn＋2的平均数是a·

2＋2＝8，解得a＝3.

众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论

（1）平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．

（2）方差的简化计算公式：

s2＝[（x＋x＋…＋x）－n2]或写成s2＝（x＋x＋…＋x）－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．

（3）平均数、方差的公式推广

①若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.

②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.

a．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

b．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；

x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为（　　）

A.B.

解析　依题意可得x1＋x2＋x3＝3a，x4＋x5＋x6＋…＋x10＝7b，所以样本数据的平均数为

＝

＝＝，故选B.

2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________．

答案　10.5,10.5

解析　∵中位数为10.5，∴＝10.5，即a＋b＝21.

∵＝＝10，

∴s2＝[（2－10）2＋（3－10）2×

2＋（7－10）2＋（a－10）2＋（b－10）2＋（12－10）2＋（13.7－10）2＋（18.3－10）2＋（20－10）2]．

令y＝（a－10）2＋（b－10）2＝2a2－42a＋221

＝22＋，

当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．

∴a＝10.5，b＝10.5.

题型　茎叶图及其应用

1.（2017·

山东高考）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7

解析　甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴×

（56＋65＋62＋74＋70＋x）＝×

（59＋61＋67＋65＋78），∴x＝3.故选A.

2．某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：

千克）如下：

品种A：

357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.

品种B：

363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.

（1）作出数据的茎叶图；

（2）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．

解　

（1）画出茎叶图如图所示：

（2）通过观察茎叶图可以看出：

①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；

②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．

1．茎叶图的画法步骤

第一步：

将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；

第二步：

将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；

有两组数据时，写在中间；

第三步：

将各个数据的叶依次写在其茎的右（左）侧．

2．茎叶图的应用

（1）茎叶图的绘制需注意：

①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；

②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．

（2）茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：

环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析　根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即×

（87＋89＋90＋91＋93）＝×

（88＋89＋90＋91＋90＋x），解得x＝2，所以平均数为＝90；

根