版 第3章 31 回归分析的基本思想及其初步应用Word文件下载.docx
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y
5
6
则y对x的回归直线一定经过的点是________．
【解析】 由表中数据得＝＝2，＝＝4.
因回归直线必过样本中心点（，），所以y与x的回归直线一定经过的点是（2,4）．
【答案】 （2,4）
教材整理2 线性回归分析
阅读教材P82探究～P89，完成下列问题．
1．线性回归模型
（1）表达式y＝bx＋a＋e.
（2）基本概念：
①a和b为模型的未知参数．
②e是y与bx＋a之间的误差．通常e为随机变量，称为随机误差．
③x称为解释变量，y称为预报变量．
2．衡量回归方程的预报精度的方法
（1）残差平方和法：
①称为相应于点（xi，yi）的残差．
②残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好．
（2）残差图法：
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
（3）利用相关指数R2刻画回归效果：
其计算公式为：
R2＝1－；
其几何意义：
R2越接近于1，表示回归的效果越好．
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）求线性回归方程前可以不进行相关性检验．（ ）
（2）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．（ ）
（3）利用线性回归方程求出的值是准确值．（ ）
（4）变量x与y之间的回归直线方程表示x与y之间的真实关系形式．（ ）
（5）随机误差也就是残差．（ ）
【解析】
（1）×
因为如果两个变量之间不具有线性相关关系，就不用求线性回归方程了，求出的回归直线方程当然也不能很好的反映两变量间的关系．
（2）√ 因为由残差图的方法步骤可知，该说法正确．
（3）×
因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值．
（4）×
因为变量x与y之间的线性回归直线方程仅表示x与y之间近似的线性关系，x与y之间满足y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差．
（5）×
因为随机误差e是真实值y与bx之间的误差，而残差＝y－是随机误差e的估计量．
【答案】
（1）×
（2）√ （3）×
（4）×
（5）×
2．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的R2分别为：
模型1的R2为0.98，模型2的R2为0.80，模型3的R2为0.50，模型4的R2为0.25.其中拟合效果最好的模型是（ ）
【导学号：
29472081】
A．模型1B．模型2
C．模型3D．模型4
【解析】 R2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，R2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．
【答案】 A
[小组合作型]
求线性回归方程
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
2.5
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：
3×
2.5＋4×
3＋5×
4＋6×
4.5＝66.5）
【精彩点拨】
（1）按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图；
（2）由公式求出，，写出回归直线方程；
（3）利用回归方程分析．
【自主解答】
（1）由题设所给数据，可得散点图如图．
（2）由数据，计算得：
＝86，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
又已知iyi＝66.5.所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×
4.5＝0.35，
因此，所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35.
（3）由
（2）的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－（0.7×
100＋0.35）＝19.65吨标准煤．
求回归直线方程的三个步骤
1．画散点图：
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系．
2．求回归系数：
若存在线性相关关系，则求回归系数．
3．写方程：
写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
[再练一题]
1．已知x，y的取值如表所示：
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则的值等于（ ）
29472082】
A．2.6 B．6.3
C．2 D．4.5
【解析】 ＝（0＋1＋3＋4）＝2，＝＝4.5，而回归直线方程过样本点的中心（2,4.5），
所以＝－0.95＝4.5－0.95×
2＝2.6.
线性回归分析
已知某种商品的价格x（元）与需求量y（件）之间的关系有如下一组数据：
x（元）
14
16
18
20
22
y（件）
12
10
7
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
【精彩点拨】 先利用求线性回归直线方程的方法步骤求出回归直线方程，再利用相关指数R2说明拟合效果．
【自主解答】 ＝×
（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝×
（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
y＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
xiyi＝14×
12＋16×
10＋18×
7＋20×
5＋22×
3＝620，
∴＝＝＝－1.15.
＝－＝7.4＋1.15×
18＝28.1，
∴所求回归直线方程为＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－2.4
－4.4
∴（yi－i）2＝0.3，（yi－）2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
故回归模型的拟合效果很好．
1．该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
2．刻画回归效果的三个方式
（1）残差图法：
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
（2）残差平方和法：
残差平方和（yi－i）2越小，模型的拟合效果越好．
（3）相关指数法：
R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
2．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料：
使用年限x
维修费用y
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y与x呈线性相关关系．
（1）求线性回归方程＝x＋；
（2）求残差平方和；
（3）求相关指数R2.
【解】
（1）由已知条件可得：
＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3.
于是有＝＝＝1.23，
＝－＝5－1.23×
4＝0.08.
所以＝1.23x＋0.08.
（2）由公式i＝1.23xi＋0.08和i＝yi－i，得下表
i
2.54
3.77
6.23
7.46
－0.34
0.03
0.5
0.27
－0.46
所以残差平方和为（－0.34）2＋0.032＋0.52＋0.272＋（－0.46）2＝0.651.
（3）R2＝1－≈0.9587.
[探究共研型]
非线性回归分析
探究1 如果两个相关变量x，y满足回归方程y＝c1x2＋c2，那么x，y具有线性相关关系吗？
如何把它化归为线性回归方程问题？
【提示】 x，y不具有线性相关关系，但是若令z＝x2，则y＝c1x2＋c2可变换为y＝c1z＋c2，即化归为线性回归方程问题．
探究2 如果两个相关变量x，y满足非线性回归方程y＝c1ec2x，如何转化为线性回归方程问题？
如果两个变量呈非线性相关关系，怎样求回归方程？
【提示】 令z＝lny，则原回归方程可变换为z＝bx＋a（a＝lnc1，b＝c2）．若两个变量呈非线性相关关系可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
探究3 若对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？
【提示】 有两种比较方法：
（1）计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；
（2）计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．
下表为收集到的一组数据：
21
23
25
27
29
32
35
11
24
66
115
325
（1）作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
（2）建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
（3）利用所得模型，预报x＝40时y的值．
【精彩点拨】 画出散点图→确定是否线性相关→确定函数模型→转化为线性模型→求回归方程→进行拟合→进行预报
【自主解答】
（1）作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
（2）对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差列表如下：
yi
6.443
11.101
19.125
32.950
56.770
128.381
290.325
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
（3）当x＝40时，y＝e0.272×
40－3.849≈1131.
非线性回归问题的处理方法
1．指数函数型y＝ebx＋a
（1）函数y＝ebx＋a的图象：
（2）处理方法：
两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型的方法求出a，b.
2．对数函数型y＝blnx＋a
（1）函数y＝blnx＋a的图象：
设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
3．y＝bx2＋a型
处理方法：
设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
0.25
试建立y与x之间的回归方程．
【解】 画出散点图如图所示．
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设y＝，令t＝，
则y＝kt，原数据变为：
t
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：
序号
ti
tiyi
64
256
144
0.0625
∑
7.75
36
94.25
21.3125
430
所以＝1.55，＝7.2.
所以＝≈4.1344，＝－≈0.8.
所以＝4.1344t＋0.8.
所以y与x的回归方程是＝＋0.8.
1．关于回归分析，下列说法错误的是（ ）
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能明确反映变量间的关系
【解析】 用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？
（ ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】 相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
【解析】 由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
【答案】 85% 15%
4．已知某车间加工零件的个数x与花费时间y（h）之间的线性回归直线方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要________h.
【解析】 ＝0.01×
600＋0.5＝6.5，所以加工600个零件大约需要6.5h.
【答案】 6.5
5．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据为：
价格x
1.4
1.6
1.8
需求量y
已知iyi＝62，＝16.6，且y与x呈线性相关．
（1）求出y对x的回归方程；
（2）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？
（精确到0.01t）.
29472083】
【解】
（1）因为＝×
9＝1.8，＝×
37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
所以＝＝＝－11.5，
＝－＝7.4＋11.5×
1.8＝28.1，
故y对x的回归方程为＝28.1－11.5x.
（2）＝28.1－11.5×
1.9＝6.25（t）．
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