第三部分 第三章二维随机变量的联合概率分布双份Word文档下载推荐.docx
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xi,Y?
yj}?
Pij,i,j?
1,2,?
，满足：
①Pij?
② ?
Pij?
i?
1j?
1?
③ F（x,y）?
xi?
xyi?
Pij． ?
2）二维连续型随机变量：
如果对于二维随机变量（X,Y）的分布函数 F（x,y）F（x,y）?
，存在非负函数f（x,y），使对于任意实数 yxx,y有 f（u,v）dudv，则称（X,Y）为连续型的随机变量，函数f（x,y）?
称为（X,Y）的概率密度．满足：
①f（x,y）?
②?
f（x,y）dxdy?
?
2F（x,y）?
f（x,y；
）） ③在f（x,y的连续点处有 ?
y④ 随机点（X,Y）落在平面区域G内的概率为 P{（X,Y）?
G}?
f（x,y）dxdy． G 3 三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系1.边缘分布函数 FX（x）?
P?
），FY（y）?
Y?
y}?
y）；
2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数?
P{X?
xi}?
pi?
i?
P{Y?
j?
j,i?
FX（x）?
ij?
pijx?
p，FY（y）?
F（i?
xj?
1i?
1y?
y；
3．二维连续型随机变量的边缘概率密度 fX（x）?
f（x,y）dy，fY（y）?
f（x,y）dx． （联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!
!
） 四、了解二维随机变量的条件分布 （这几年考试内容明显增多）1.条件分布函数 FX|Y（x|y）?
x|Y?
y} 称为在条件Y?
y下X的条件分布函数；
FY|X（y|x）?
y|X?
x} 称为在条件 X?
x下Y的条件分布函数． 2．离散型随机变量的条件分布律 4 P{X?
yj}Pij P{X?
xi|Y?
y,i?
j}?
p?
j称为在条件 Y?
yj下X的条件分布函数；
P{Y?
yi}j|X?
xP{Y?
yj,X?
pij?
i}p,j?
1,2,i?
称为在条件 X?
xi下Y的条件分布函数． 3．连续型随机变量的条件概率密度 ff（x,y）X|Y（x|y）?
f）称为在条件Y?
y下X的Y（y条件概率密度；
ff（x,y）Y|X（y|x）?
fx）称为在条件X?
x下Y的 X（条件概率密度． （注意与第一章中条件概率的计算作比较） 五、理解随机变量独立性的概念（相关性） 若对于所有x,y，有 P{X?
x}?
y}， 即 F（x,y）?
FX（x）?
FY（y）， 则称随机变量X和Y是相互独立的． 相对离散型，X和Y相互独立的充分必要条件是：
P{X?
yj}， 即 pij?
j；
相对连续型，X和Y相互独立的充分必要条件是：
5
f（x,y）?
fX（x）?
fY（y）． 应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算． （注意独立与相关的联系与区别） 六、掌握求两个随机变量的函数的分布 （离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型）1．两个随机变量和的分布，即ZfZ（z）?
Y的分布 ?
f（x,z?
x）dx?
f（z?
y,y）dy；
当X和Y相互独立时， fZ（z）?
fX（x）fY（z?
fX（z?
y）fY（y）dy?
fX?
fY ?
2．M?
max（X,Y）及N?
min（X,Y）的分布 X和Y相互独立时， 1）M?
max（X,Y）的分布：
min（X,Y）的分布：
Fmax（z）?
P{M?
z}?
FX（z）FY（z）；
2）NFmin（z）?
P{N?
[1?
FX（z）][1?
FY（z）]． 七、重点与难点1． 重点：
二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、 概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是Z ?
Y、M?
max（X,Y）、N?
min（X,Y）的 6 分布．2． 难点：
已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；
已知的 分布求Z?
min（X,Y）的分布． 3．一些说明：
联合分布函数F（x,y）与联合概率密度f（x,y）中的常数常 F（x,y）及f（x,y）的各个性质来确定． 求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度f（x,y），再根据 f（x,y）?
0的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区 域，将二重积分化为累次积分去计算． 题型一：
求二维随机变量的概率分布题型二：
有关条件分布问题题型三：
随机变量的独立性题型四：
二维随机变量函数的分布及概率的计算 题型一：
求二维随机变量的概率分布 F（x,y）?
y} 离散的情形：
yj} 例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：
有放回抽样；
不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就、两种情况，写出X和Y的联合分布律． 解：
因为X和Y的取值都是0和1，故（X，Y）的取值为（0,0）、、、.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑. 7 ?
有放回抽样，乘法定理得 101025P{X?
0,Y?
0}?
0}P{Y?
0|X?
， 121236P{X?
1}?
1|X?
1025?
，12123651,P{X?
1,Y?
类似可得：
；
3636不放回抽样，乘法定理得 P{X?
10915?
，1211221025P{X?
， 12113351,P{X?
3366X和Y的联合分布律为 XY010 125/365/365/361/36 XY010 1；
15/225/335/33 1/66 例2．[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为?
（?
0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0?
1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
二维随机变量（X，Y）的概率分布． 解：
是一个条件概率，即当X=n时，Y=m的概率：
m|X?
n}， 8 于下车与否相互独立，Y服从二项分布。
mm?
nmP{Y?
n}?
Cp（1?
p）,（?
0m?
nn,?
0,；
1, 所以n P{X?
n,Y?
m}?
n} ?
ne?
mm?
Cnp（1?
p）n?
m,（0?
m?
n,n?
0,1,2,?
）。
n!
111P（A）?
P（B|A）?
P（A|B）?
例3．[2004年]设A,B为随机事件，且， 432?
1A发生，?
1B发生，Y?
令：
X?
求：
0A不发生；
0B不发生；
二维随机变量（X，Y）的概率分布；
X与Y的相关系数． 解：
易见（X，Y）的取值为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1），相应概率为 1P{X?
P（AB）?
P（A）P（B|A）?
12， 111P{X?
P（A）?
， 4126P（AB）P{X?
P（B）?
P（AB） P（A|B）1?
2P（AB）?
， 121112P{X?
，（联合分布列表略…） 126123 联合分布可得边缘分布：
1?
0?
0 X?
， 34145616?
9 于是可得：
113315E（X）?
D（X）?
E（Y）?
D（Y）?
， 44416636E（XY）?
1，121111cov（X,Y）?
E（XY）?
E（X）E（Y）?
， 124624 所以?
XY= 例4．[2009年，三]袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数. 求P｛X＝1｜Z＝0｝；
求二维随机变量的概率分布. 11C1C22?
1,Z?
0}46?
6P{X?
1|Z?
11解：
C3C3P{Z?
0}9；
6?
6cov（X,Y）?
D（X）DY（）1。
15X可取0，1，2；
Y可取0，1，2，共有九种可能性：
其联合分布为 1111C3C392C2C312P{X?
，P{X?
， 6?
6366?
63611112C1C3C2C246P{X?
2}?
636112C1C24P{X?
0 6?
63611C1C11P{X?
2,Y?
636 10
X012Y09/366/361/36 112/364/360 24/3600 如果是有放回呢，应如何考虑？
C111C2P{X?
0}P{Z?
C262C2?
33；
C26X只可取0，1；
Y可取0，1，2，共有六种可能性：
C23C1132C36C2?
C2?
，6156151P{X?
C221CC1133C2?
2?
，615C61511P{X?
C1C22C2?
0，…… 615 例5．设二维随机变量的概率密度为 f（x,y）?
cx2y,x2?
0,其他 求系数c；
求边缘概率密度． 11 解：
1?
f（x,y）dxdy21214?
cxydxdy?
c?
xdx?
2ydy?
1x212x?
121所以有c?
4；
fX（x）?
f（x,y）dy， ?
212?
12124x（1?
x）,|x|?
1xydy,|x|?
x2?
84?
0,|x|?
fY（y）?
?
f（x,y）dx?
75?
y212?
yxydx,0?
y2,0?
1．?
24?
0,其他其他?
0, 12例6．[1998年]设平面区域D曲线y?
及直线y?
0,x?
1,x?
e所围成， x二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在 x?
2处的值为 。
解：
首先求联合概率密度。
于区域D的面积为：
SD?
e211e2dx?
lnx|1?
2，x21 （区域D为：
{（x,y）|1?
e,0?
}） x12 ?
f（x,y）?
（x,y）?
D,所以联合密度为：
?
2x,y）?
D. ?
0,（再求边缘概率密度．1fX（x）?
f（x,y）dy?
x102dy?
122x，（1?
e）所以f1X
（2）?
14。
题型二：
有关条件分布问题 FX|Y（x|y）?
x下Y的条件分布函数． x离散型：
yj}i|Y?
Pijj}p,i?
jP{Y?
y P{Y?
xi}Pijj|X?
p,j?
i}i?
连续型：
ff（x,y）X|Y（x|y）?
f（y）fY|X（y|x）?
f（x,y）f（x） YX 例1．已知的联合分布律为 Y012X 13 0121/401/61/81/30001/8试求在Y＝1的条件下，X的条件分布律. 解：
第一步，先求Y的边缘分布律：
所以：
1YP05/12111/2421/8?
11/24；
第二步，再求各条件概率：
1}p011/83P{X?
0|Y?
， P{Y?
1}p?
111/2411 P{X?
1|Y?
1}p111/38?
111/2411P{X?
1}p210P{X?
2|Y?
0 P{Y?
111/24于是在条件Y＝1下，X的分布律是：
例2．设维随机变量X在区间上服从均匀分布，在X件下，随机变量Y在区间 X03/1118/1120pX|Y（xi|1）?
x（0?
1）条 （0,x）上服从均匀分布，求：
随机变量X，Y的联合概率密度；
14 Y的概率密度；
概率P（X?
1）． ?
1,0?
1解：
X的概率密度为：
0,其他， 在条件X?
1）下，Y在区间（0,x）上服从均匀分布， ?
0?
x所以条件密度为：
fY|X（y|x）?
x?
0,其他当0?
1时，联合分布密度为：
f（x,y）?
f?
x）1Y|X（y|Xf（?
xx），而在其它点（x,y）处，f（x,y）?
0， ?
1所以 f（x,y）?
x；
0,其他Y的概率密度为：
fy）?
11ydx0?
lny,0?
0,其他?
0,其他；
概率 P（X?
1）?
1x1dx1X?
xxdy?
1（2x?
1）11112xdx?
1（2?
）dx?
ln2. 2x 例3．[2009年，三]设二维随机变量的概率密度为 15
?
e?
x,0?
xf（x,y）?
0,其他， 求条件概率密度fY|X（y|x）．求条件概率P{X?
1}． 解：
定义知：
Y|XfX（x），先求边缘密度：
x0edyx?
0 fX（x）?
（x,y）dy?
xe?
x,x?
0. fy|x）?
x,从而 Y|X（fx）?
xX（?
11?
f（x,y）dx P{X?
1}P{Y?
fY（y）dy，而Y的边缘密度为：
f?
ye?
xdxy?
y,y?
0Y（y）?
0,y?
0，11f（x,y所以：
1（y）dy ?
fY?
10dx?
x0e?
xdy?
2e?
1e?
y1?
1。
0edy 16 例4．[2010年]设二维随机变量的概率密度为 f（x,y）?
Ae?
2x2?
2xy?
y2,（?
）， 求常数A及条件概率密度fY|X（y|x）． 解：
利用正态分布的概率密度积分为1计算A。
（凑）?
）2 即 1?
（t2?
edt， 1?
y）dxdy=A?
y2?
f（x,?
edxdy ?
A?
edx?
（x?
y）2?
dy（y?
x）2?
x2dx?
2（12）2dy?
1e2?
edx 2?
e2
（1）22?
dx?
1， 21 所以 A?
?
1又 fX（x）?
（y?
x）2dy （y?
e2（12）2?
1dy?
x22?
217 1f（x,y）?
y2f 所以 Y|X（y|x）?
f）?
X（x1x2 ?
y2 ?
x）2. 题型三：
随机变量的独立性 P{X?
y}， F（x,y）?
FY（y）， 离散：
yj}，pij?
连续：
fY（y）． 例1．设随机变量X与Y相互独立且有相同分布， P{X?
12,P{X?
12， 则下列各式成立的是 AP{X?
Y}?
12；
BP{X?
CP{X?
14；
DP{X?
14. 解：
考察：
18 P{X?
1}11111?
22222所以选. 例2．[2005，一]设随机变量X与Y的 概率分布如表，已知随机事件{X?
0}， X01 Y 0b1a{X?
1}独立，则 Aa?
b?
Ba?
Ca?
Da?
解：
联合分布律性质：
a?
b?
1，?
再利用独立性讨论：
P（X?
0,X?
P（X?
0）?
1） 所以:
a）?
（a?
b）?
，所以选. 例3．[2007，一]设随机变量服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX（x），fY（y）分别表示X，Y的分布密度，则在Y?
y条件下，X的概率密度fX|Y（x|y）为 fX（x）AfX（x）；
BfY（y）；
CfX（x）?
fY（y）；
D. fY（y）解：
注意不相关与独立的关系；
独立一定不相关；
但在一般情况下，不相关未 19 必独立；
例外：
在二维正态分布下，不相关?
独立。
f（x,y）fX（x）?
fX（x）所以本题中：
fX|Y（x|y）?
fY（y）fY（y）答案选A。
例4．[2003，四]设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则 AX与Y一定独立；
B服从二维正态分布；
CX与Y未必独立；
DX+Y服从一维正态分布. 解：
于不知的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立!
相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。
答案选C。
例5．二维随机变量的分布密度 ?
3x,f（x,y）?
0,0?
x, 其他.求X与Y边缘概率密度；
X，Y是否独立．解：
如图，当0?
1时，0?
x，故有 x2f（x）?
3xdy?
3x X，?
当0?
1时，y?
1，有 1 fY（y）?
y3xdx?
显然 3（1?
y2）；
f（x,y），所以X和Y不是相互独立的． 20
例5．[2008年，三]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为 ?
11P{X?
，（i?
1,0,1），Y的概率密度为fY（y）?
，记 0,其它3?
Z?
Y， 求P{Z?
12|X?
0}；
求Z的概率密度fZ（z）. P{Z?
1,X?
0}P{0?
1,解：
P{Z?
122X?
0}2|X
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