高斯定理Word下载.docx

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直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

∙1定理

∙2用散度表示

∙3用向量表示

∙4推论

∙5例子

∙6二阶张量的高斯公式

∙7参阅

定理

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P（x,y,z）、Q（x,y,z）、R（x,y,z）在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦

这两个公式叫做高斯公式。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而

n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

用向量表示

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，

是定义在V中和S上连续可微的矢量场。

如果

是外法向矢量面元，则

推论

∙对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

∙对于两个向量场

的向量积，应用高斯公式可得：

∙对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

∙对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

例子

假设我们想要计算

其中S是由

所定义的单位球，F是向量场

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

由于函数

和

是奇函数，我们有：

因此：

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。

为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。

在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1两个矢量

和

并排放在一起所形成的量

被称为矢量

的并矢或并矢张量。

要注意，一般来说，

。

2

的充分必要条件是

或

3二阶张量就是有限个并矢的线性组合。

4

分别线性地依赖于

5二阶张量

和矢量

的缩并

以及

对

都是线性的。

6特别是，当

时，

所以，一般说来，

下面举一个例子：

用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写

我们还用到二阶张量的转置

（又可以记为

），定义如下：

7

仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于

8

定理：

设

是三维欧几里得空间中的一个有限区域，

是它的边界曲面，

是

的外法线方向上的单位矢量，

是定义在

的某个开邻域上的

连续的二阶张量场，

的转置，则

证明：

下面以第二个式子为例进行证明。

令第二个式子的左边为

，则

接下来利用矢量场的高斯公式，可得

于是

至此证毕