山东省济南市高考数学模拟试卷一模解析版Word格式.doc
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C．当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈（﹣1，3]
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
11．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．下列说法正确的是（ ）
A．第4个图形的边长为
B．记第n个图形的边数为an，则an+1＝4an
C．记第n个图形的周长为bn，则bn＝3•（）n﹣1
D．记第n个图形的面积为Sn，则对任意的n∈N+，存在正实数M，使得Sn＜M
12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：
与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（ ）
A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2
B．对直线l上任意点P，•＞0
C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为b
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
三、填空题：
13．已知复数z＝（其中i为虚数单位），则|z|的值为 ．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝28，则a2+a3+a7的值为 ．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 、 ．
16．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：
第一步过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P﹣AEFG；
第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表而画出截面四边形AEFG，若＝，＝，则的值为 ．
四、解答题：
本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
.
17．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝，b＝3，sinA+sinB＝2．
（1）求角A的值；
（2）求△ABC的面积．
18．已知函数f（r）＝
（1）若a＝2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰好有三个零点，求实数a的取值范围．
19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1和平面a，直线AC1∥平面α，直线BD∥平面α．
（1）证明：
平面α⊥平面B1CD1；
（2）点P为线段AC1上的动点，求直线BP与平面α所成角的最大值．
20．如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）．
（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA•yB的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？
若存在，求出λ的值；
若不存在，说明理由．
21．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：
数学成绩x
46
65
79
89
99
109
110
116
123
134
140
物理成绩y
50
54
60
63
66
68
70
73
76
80
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），用剔除异常数据后的样本平均值作为σ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
附：
参考数据：
1110
660
68586
120426
4770
0.31
上表中的xi表示样本中第i名考生的数学成绩，yi示样本中第i名考生的物理成绩，＝．
参考公式：
①对于一组数据：
u1，u2，…，un，其方差：
s2＝＝．
②对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝﹣．
③随机变量ξ服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.955，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
22．已知正项数列{an}，a1＝1，an+1＝ln（an+1），n∈N+．证明：
（1）an+1＜an；
（2）an﹣2an+1＜an•an+1；
（3）＜an≤．
参考答案
一、单项选择题（每小题5分）.
解：
因为α∈（0，π），cosα＝﹣，
所以α＝
则tanα＝﹣．
故选：
D．
A＝{x|＜0}＝{x|x（x﹣1）＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，
所以A⫋B，
“x∈A”可以推出“x∈B”，但“x∈B”不能推出“x∈A”，
所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
B．
根据题意，设与的夹角为θ，
若++＝，即+＝﹣，则有（+）2＝（﹣）2，
变形可得：
2+2+2•＝2，则有cosθ＝﹣，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
C．
由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，
若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，
同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，
所以6个点中有2个点，
故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．
双曲线﹣＝1（m＞0）的渐近线方程为x±
y＝0，
可得＝，
解得m＝．
A．
由函数图像可得，函数图像关于y轴对称，可得y＝f（x）是偶函数，
由于f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），故A错误；
又因为y＝f（x）经过（π，﹣1），
所以f（π）＝﹣1，与D选项f（π）＝1矛盾，故D错误；
若f（x）＝sin|x|+cosx，
当x∈[π，2π]，sin|x|＝sinx，
所以f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+）≥﹣，
故当x+＝时，即x＝时，取得最小值﹣，
与图中的最小值﹣1互相矛盾，故C错误．
如图，取BD的中点记为O，
连接OC，OA，菱形ABCD，AB＝BD＝2，所以△ABD与△BCD是正三角形，AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
AO＝DO＝2×
＝，平面AOC⊥平面CDB，AO＝，
棱锥的高为：
，
所以三棱锥的体积为：
×
＝．
设f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＞0，∴0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f（2022）＜f（2020），即＜，∴2020ln2022＜2022ln2020，∴c＜a，
设g（x）＝x﹣ln（x+1），（x≥0），g′（x）＝1﹣＝≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0，∴x≥ln（x+1），（x≥0），
∵b﹣a＝2021（ln2021﹣ln2020）﹣ln2020＝2021ln（1+）﹣ln2020
≤2021×
﹣ln2020＜0，∴b＜a，
同理：
c﹣b＝2020ln（1+）﹣ln2021≤﹣ln2021＜0，∴c＜b，
∴a＞b＞c，
在（﹣x）6的展开式中，通项公式为Tr+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x2r﹣6，
令2r﹣6＝0，求得r＝3，可得展开式的常数项为﹣160，故A错误；
显然，当r＝3时，二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故B正确；
由于第r+1项的系数为•26﹣r•（﹣1）r，要使该项系数最大，需r为偶数，
检验可得，当r＝2时，该项的系数最大为240，故C正确；
令x＝1，可得各项系数和为1，故D错误，
BC．
f（x）＝x3﹣ax+1，则f′（x）＝3x2﹣a，
因为函数f（x）的图象在x＝2处切线的斜率为9，
所以f′
（2）＝9，即12﹣a＝9，解得a＝3，故A正确；
则f（x）＝x3﹣3x+1，则f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值，故B正确；
当x∈（﹣2，1]时，由f（x）的单调性可知，f（x）的最大值为f（﹣1）＝3，
又f（﹣2）＝﹣1，f
（1）＝﹣1，
所以当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈[﹣1，3]，故C错误；
因为函数y＝x3﹣3x为奇函数，关于原点（0，0）对称，
所以函数f（x）＝x3﹣ax+1的图象关于点（0，1）中心对称，故D正确．
ABD．
第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，
以次类推，则第4个图形的边长为，故选项A错误；
以一条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，
再擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的（3﹣1）+2＝4条，翻了4倍，
所以下一个图形的边数是上一个图形边数的4倍，即an+1＝4an，故选项B正确；
下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{bn}是公比为的等比数列，
而首项b1＝3，所以，故选项C正确；
第一个图形的面积即正三角形的面积，
从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图形的，
所以，，
以此类推，第n个图形的面积为，
依次迭代，则
＝，
当n→∞时，Sn→1.6S1，即Sn＜M＝1.6S1，故选项D正确．
BCD．
对于A：
因为点Q（a，b）在蒙日圆上，
所以方程为x2+y2＝a2+b2，
又e＝＝＝，所以a2＝2b2，故A正确；
对于B：
因为l过顶点P（b，a），而又Q满足蒙日圆方程，
所以点P在圆x2+y2＝3b2上，
当A，B恰为切点时，•＝﹣1＜0，故B不正确；
对于C：
由A在椭圆上，得|AF1|+|AF2|＝2a，
所以d﹣AF2＝d﹣（2a﹣AF1）＝d+AF1﹣2a，
当F1A⊥l时，d+AF1有最小值，
由上可得c2＝a2﹣b2＝2b2﹣b2＝b2，
即点F1到直线l的距离d＝＝＝b，
所以|d﹣AF2|min＝b﹣2a，故C不正确；
对于D：
当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，
对角线为蒙日圆的直径，
设边长为x，y，则x2+y2＝（2r）2＝4r2＝12b2，
所以S矩形＝xy≤＝6b2，故D正确；
AD．
13．已知复数z＝（其中i为虚数单位），则|z|的值为 ．
复数z＝＝＝﹣1+2i，
则|z|＝＝，
故答案为：
．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝28，则a2+a3+a7的值为 12 ．
因为等差数列{an}中，S7＝＝7a4＝28，
∴a4＝4，
则a2+a3+a7＝a3+a4+a5＝3a4＝12．
12．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 1 、 ﹣1 ．
因为u＝x+在R上单调递增，y＝，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，
于是y＝的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
所以当a＞0，b＞0时，或者当a＜0，b＜0时，命题“若a＞b，则＜”是真命题，
当a＞0，b＜0时，a＞b成立，但＞0，＜0，所以＞，所以命题“若a＞b，则＜”是假命题，
于是取一组特值满足a＞0，b＜0即可，不妨取a＝1，b＝﹣1．
1、﹣1．
第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表而画出截面四边形AEFG，若＝，＝，则的值为 ．
设四棱锥P﹣ABCD的体积为V，设＝g，
（1），
同理可得，
相加可得①；
（2），
相加可得②；
（3）由①②可知，＝，
所以，解得，
所以＝．
（1）因为a＝，b＝3，
由正弦定理得，
所以sinA＝，sinB＝，
因为sinA+sinB＝2，
所以＝2，
故R＝，sinA＝＝，
因为a＜b，
所以A为锐角，A＝；
（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，
整理得，
解得c＝2或c＝
当c＝2时，S△ABC＝＝＝3，
当c＝时，S△ABC＝＝＝．
（1）a＝2时，f（x）＝，
当x＞0时，f（x）＝（x﹣1）2﹣，则f（x）min＝f
（1）＝﹣，
当x≤0时，f（x）＝2（xex+ex），则f′（x）＝2（x+2）ex，
令f′（x）＝0，解得：
x＝﹣2，
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当﹣2＜x≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴此时f（x）min＝f（﹣2）＝﹣2e﹣2＞﹣，
故f（x）的最小值是﹣；
（2）x＜0时，f（x）＝a（x+1）ex，f′（x）＝a（x+2）ex，
①a≤0时，f（x）在x＝﹣2时取最大值，f（﹣2）＝﹣aex＞0且f（0）＜0，
∴x∈[﹣2，0]时，函数有唯一零点，x＜﹣2时，f（x）＞0且不断趋近于0，无零点，
x＞0时，f（x）＝x2﹣ax+，对称轴是x＝＜0，
∴x＞0时至多1个零点，不合题意，
∴a≤0不合题意，舍；
②a＞0时，同①f（x）在（﹣∞，0]上有1个零点，
只需f（x）在（0，+∞）上有2个零点，
∴x＞0时，f（x）＝x2﹣ax+，△＝a2﹣2＞0，
解得：
a＞或a＜﹣（舍），
综上：
a的取值范围是（，+∞）．
【解答】
连结A1C1，则B1D1⊥A1C1，
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，
又因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1，
因为AC1⊂平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，
同理B1C⊥AC1，因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面B1CD1，
因为AC1∥平面α，过直线AC1作平面β与平面α相交于直线l，则AC1∥l，
所以l⊥平面B1CD1，又l⊂平面α，所以平面α⊥平面B1CD1；
（2）解：
设正方体的棱长为1，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），
所以，
设平面α的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝﹣2，故，
设，
则，因为，
设直线BP与平面α所成的角为θ，
则＝，
所以当时，sinθ取到最大值为，此时θ的最大值为．
（1）设直线AB的方程为x＝my+1，代入y2＝2x得y2﹣2my﹣2＝0，则yA•yB＝﹣2，
（2）由
（1）同理得yM•yN＝﹣2，
设直线AN的方程为x＝ny+2，代入y2＝2x得y2﹣2ny﹣4＝0，则yA•yN＝﹣4，
又k1＝＝＝，同理k2＝，
则λ＝＝＝＝＝2，
∴存在实数λ＝2，使得k2＝2k1成立．
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有
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