等比数列及前n项和教案.docx
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等比数列及前n项和教案
等比数列及前n项和教案
【篇一：
《等比数列的前n项和》教学案例设计】
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全
体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同
的人学不同的数学”的理念。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重
要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。
通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意
识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树
立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知
识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和
公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。
探索公式的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。
本节内容基础知识和基本技能非常重要，
涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教
学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想
方法。
⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价
值，发展数学的理性思维。
教学重点
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学
生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周
世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”
中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
设计思路如下：
四、教学过程
（一）创设问题情景
课前给出复习：
等比数列的定义及性质
课首给出引例：
“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件：
在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,
所以很为难。
”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者
的角色中来！
]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
（1+30）?
30=1+2++30==465（万元）穷人30天借到的钱：
s302
穷人需要还的钱：
s30=1+2+22++229=?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!
]
教师紧接着把如何求s30=1+2+22++229=？
的问题让学生探究，
s30=1+2+22++229①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2s30=2+22++229+230②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
（分）≈1073（万元）＞465（万元）s30=230-1=1073741823
答案:
穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:
如何推导等比数列前n项和公式？
（学生很自然地模仿以上方法
推导）
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
（1）
qsn=a1q+a1q2++a1qn-1+a1qn
（2）
（1）-
（2）有（1-q）sn=a1-a1qn
推导等比数列前n项和sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，
教师：
还有没有其他推导方法？
（经过几分钟的思考，有学生举手发言）
学生a：
a2=a3==an=q∴a2+a3++an=q即a1a2an-1a1+a2++an-1
sn-a1=q∴sn=a1-anq（q≠1）sn-an1-q。
学生b：
sn=a1+a1q++a1qn-2+a1qn-1
=a1+qa1+a1q++a1qn-2=a1+qsn-1=a1+q（sn-an）=a1+qsn-anq
∴sn-qsn=a1-anq∴sn=a1-anq（q≠1）1-q（）
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推
进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！
让学生享受成功的喜悦！
]
【基础知识形成性练习：
】
1、求下列等比数列的各项和：
1111
（1）1，3，9，?
，2187
（2）1,-,,-,,-248512
2、根据下列条件求等比数列{an}的前n项和sn
①a1=2,q=2,n=8②a1=8,q=2,an=
（四）数学应用
例1求等比数列1/2，1/4，1/8?
?
的
（1）前8项的和;
（2）第四项到第八项的和
11解：
（1）a1=,q=,n=82212
11（1-n）=255∴s8=2
12561-2
1
（2）a4=a1q3=,n=516
11（1-5）=31∴s=12561-2
例2：
在等比数列{an}中，
（1）已知a1=-4,q=2,求sn
（2）已知a1=1,ak=243,q=2求sk
例3：
在等比数列{an}中，s3=763,s6=求an22
[例1教师板演示范，强调解题的规范。
例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。
]
【演练反馈巩固性练习：
】
1）在等比数列{an}中，
①已知a1=-1.5,a7=-96，求q和sn
②已知a3=4,s3=12,求q和a1
2）求数列1+a+a2+a3+an-1+（a≠0）的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。
然后老师给出评价]
（六）布置作业
1、根据下列条件，求等比数列{an}的前n项和sn
①:
a1=3,q=2,n=6②:
a1=8,q=11,an=22
5,n=4④:
a1+a3=10,a4+a6=,③：
a2=0.12,a5=0.000964
2、在等比数列
①:
已知{an}中，a1=2,s3=26，求q和sn
=30,s3=115，求sn
}中，已知sn=48,s2n=60，求s3n②:
已知s23、在等比数列{an
2n-1s=1+3x+5x++（2n-1）x（x≠0）4、求和：
n
[作业要求：
允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。
]
（七）板书设计
等比数列的前n项和
公式推导例题练习
注：
（七）课后反思
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。
同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。
教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
（1）创设问题情景、布疑激趣
（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。
学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。
从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。
本节课数学情境的创设突出了以下两点：
1．从有利于学生主动探索设计数学情境。
新课标指出：
学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。
从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。
因此，本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征，利用“小故事”这一探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。
“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：
“请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
”、“如何推导等比数列前n项和公式？
”、“还有没有其他推导方法？
”?
?
促使学生去思考问题，去发现问题。
【篇二：
等比数列前n项和_（公开课教案）】
6.3.3等比数列的前n项和
教学目的：
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．
2．会用等比数列的前n教学重点：
等比数列的前n项和公式推导
教学难点：
灵活应用公式解决有关问题
授课类型：
新授课
课时安排：
1课时
教材分析：
本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，教学过程：
一、复习：
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母q表示（q≠0），即：
｛an｝成等比数列?
an+1+=q（n∈n,q≠0）an
“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。
2.等比数列的通项公式:
an=a1?
qn-1（a1?
q≠0），an=am?
qm-1（a1?
q≠0）
3．既是等差又是等比数列的数列：
非零常数列．
二、讲解新课：
*创设情境兴趣导入
话说孙悟空西天取经回来，对花果山进行了旅游开发，办起了旅游公司，可好景不长，便因资金周转不开，陷入困境。
而猪八戒从高员外手里接下高老庄集团后，摇身变成了ceo，生意是蒸蒸向上。
于是，悟空找到八戒帮忙，八戒一口答应：
行，看在你在西天取经路上“狠”照顾我的份上，我每天给你投100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件，作为回报，从投资的第一天你必须返还给我1元，第二天2元，第三天4元……依次类推，后一天是前一天的2倍，也是一个月，怎么样？
*动脑思考探索新知
如何求数列1，2，4，?
228，229以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
sn=1+2+4+?
+228+229①
2sn=2+4+?
+229+230②
30由②—①可得：
s30=2-1
这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列a1,a2+a3,an它的前n项和是
sn=a1+a2+a3+an
?
sn=a1+a2+a3+an由?
n-1a=aq1?
n
2n-2n-1?
?
sn=a1+a1q+a1q+a1q+a1q得?
23n-1n?
?
qsn=a1q+a1q+a1q+a1q+a1q
∴（1-q）sn=a1-a1qn
a-anqa1（1-qn）∴当q≠1时，sn=①或sn=1②1-q1-q
当q=1时，sn=na1
公式的推导方法二：
sn=a1+a2+a3+an＝a1+q（a1+a2+a3+an-1）
＝a1+qsn-1＝a1+q（sn-an）
?
（1-q）sn=a1-anq（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利
现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？
国王承诺奖赏的麦粒数为
s641（1-264）==264-1≈1.84?
1019，1-2
*巩固知识典型例题
例5写出等比数列
1,-3,9,-27,
的前n项和公式并求出数列的前8项的和．
解因为a1=1,q=-3=-3，所以等比数列的前n项和公式为1
1?
[1-（-3）n]1-（-3）n
=sn=，1-（-3）4
1-（-3）8
=-1640．故s8=4
例6求等比数列1，2，4，?
从第5项到第10项的和.
解由a1=1,a2=2得q=2
1?
（1-24）1?
（1-210）∴s4==15，s10==10231-21-2
从第5项到第10项的和为s10-s4=1008
例7一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？
解根据题意可知，获知此信息的人数成首项a1=1,q=2的等比数列则：
一天内获知此信息的人数为：
s241-224==224-1=16777215（人）1-2
∵s321-232==232-1=4294967295（人）1-2
1-233
==233-1=8589934591（人）1-2s33
∴最快33个小时全球人都知道这个消息。
*运用知识强化练习
练习6.3.3
1．求等比数列1248，，，，?
的前10项的和．9999
2．已知等比数列｛an｝的公比为2，s4＝１，求s8．
*归纳小结强化思想
1.等比数列求和公式：
当q=1时，sn=na1
a1-anqa1（1-qn）当q≠1时，sn=或sn=；1-q1-q
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
*继续探索活动探究
（1）读书部分：
教材
（2）书面作业：
教材习题6．3a组（必做）；教材习题6．3b组（选做）
*教学反思
【篇三：
教案-《等比数列的前n项和公式》】
高二数学组集体备课教案（第七周10月17日）
课题：
2.5等比数列的前n项和（两个课时）
教学目标：
（1）知识目标：
理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列
的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；
（2）能力目标：
提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一
般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；
（3）情感目标：
培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思
维品质；
教学重点：
（1）等比数列的前n项和公式；
（2）等比数列的前n项和公式的应用；
教学难点：
等比数列的前n项和公式的推导；
教学方法：
问题探索法及启发式讲授法
教具：
多媒体
教学过程：
一、复习提问
回顾等比数列定义，通项公式
an
=qa
（1）等比数列定义：
n-1（n≥2，q≠0）
（2）等比数列通项公式：
an=a1qn-1（a1,q≠0）
（3）等差数列前n项和公式的推导方法：
倒序相加法。
二、问题引入：
阅读:
课本第55页“国王赏麦的故事”。
2363
+2+问题:
如何计算s64=12+2++2
引出课题:
等比数列的前n项和。
三、问题探讨：
问题：
如何求等比数列{an}的前n项和公式sn=a1+a2+a3++an
=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
回顾：
等差数列的前n项和公式的推导方法。
倒序相加法。
等差数列a1,a2+a3,an它的前n项和是sn=a1+a2+a3+an根据等差数列的定义an+1-an=d
（n-1）d]
（1）sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）++[a1+
sn=an+（an-d）+（an-2d）++[an-（n-1）d]
（2）
（1）+
（2）得：
2sn=n（a1+an）
n（a1+an）2
探究：
等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？
sn=a1+a2+a3++an
sn=
=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
aaanan
sn=an+n+n+++2n-2n-1
qqqq
学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。
回顾：
等差数列前n项和公式的推导方法本质。
构造相同项，化繁为简。
探究：
等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？
根据等比数列的定义：
an+1
=（qn∈n+）an
变形：
anq=an+1
具体：
a1q=a2a2q=a3a3q=a4?
?
学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。
数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-2+a1qn-1
（1）qsn=
a1q+a1q2+a1q3++a1qn-1+a1qn
（2）
2
由此构造相同项。
数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
∴
（1）-
（2）得：
（1-q）sn=a1-a1qn
当q=1时，sn=na1
a1（1-qn）当q≠1时，sn=
1-q
学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：
当q≠1时，sn=
a1-anq
1-q
四.知识整合:
1．等比数列的前n项和公式：
当q=1时，sn=na1
a1（1-qn）a-aq
当q≠1时，sn==1n
1-q1-q
2．公式特征：
⑴等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况。
⑵当q≠1时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。
⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，a1,五个量中“知三求二”（方程思想）。
3．等比数列前n项和公式推导方法：
错位相减法。
五、例题精讲：
例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习：
⑴求等比数列1,2,4,8?
的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8?
第4项到第7项的和.
例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，
依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？
3
q,n,
an,sn，
⑵若已知所画正方形的面积和为一个正方形的面积。
31
，求一共画了几个正方形，及所画的最后4
解：
由题意得：
每个正方形的面积构成等比数列，且a1=4
（1）n=7∴a7=a1?
q6=
116
q=
12
n-1
?
?
1?
?
an=4?
?
2?
?
?
an=a1qn=1
?
n=5n?
?
?
?
1?
?
?
?
（2）?
a1（1-qn）?
?
?
14?
1-?
?
a=n?
?
31?
sn=?
2?
?
?
?
41-q?
?
=
1?
41-
?
?
2
1
答：
（1）第七个正方形的面积是cm2。
16
1
（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是cm2。
4
巩固练习：
⑴已知等比数列{an}中，a1=-1，q=-2,求s6。
⑵已知等比数列{an}中，a1=1，q=3,sn=40，求n，an。
六、课堂小结：
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时，sn=na1
a1（1-qn）a-aq
当q≠1时，sn==1n
1-q1-q
2、等比数列的前n项和推导方法：
错位相减法。
3、数学思想：
类比，分类讨论，方程的数学思想。
七、课后作业：
基础题：
课本p61习题2.5a组1，2
提高题：
求和（（1+a）+（2+a2）++（2n-1+an）
探究与发现：
查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？
4
八、板书设计：
5
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