关于地方日报的最优订阅价格.docx
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关于地方日报的最优订阅价格
数学建模第一次大作业
关于地方日报的最优订阅价格
08机电专业
第二组
林炳文杨杰罗庚
关于地方日报的最优订阅价格
摘要
关于日报的单变量最优价格的讨论，这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。
并建立了相应的模型，求出了订阅人数与价格之间的关系。
在模型求解过程中我们运用了Mathematica画出了相应的图形，从而阅读来比较直观。
问题二和问题三中，从灵敏性方面进行分析，得到日报的最优价格。
关键词：
灵敏性最优单变量
一、问题提出
一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。
现在的价格为每周1.5美元。
据估计如果每周提高订价10美分，就会损失5000订户。
问题：
（1）求使利润最大的订阅价格？
（2）对
（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。
分别假设这个参数值为：
3000、4000、5000、6000及7000，计算最优订阅价格。
（3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。
求最优订阅价格p作为n的函数关系。
并用这个公式来求灵敏性S（p,n）。
（4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？
用通俗易懂的语言说明你的结论。
二、基本假设
订户一旦订阅日报之后无在退订情况发生；
日报订阅价格每周七天均保持不变；
日报的生产数量能满足用户的需求；
直到达到最优价格之前，每周日报的价格均提高0.1美元；
5、订户每户只能订一份日报；
三、符号说明
意义
备注
p
利润最大时日报的订阅价格
单位：
美元/份
T
提高到最优价格所用的周数
r
每周提高的订价
单位：
美元/份
ｎ
每周价格提高之后损失的订户数
单位：
户
Ｋ
第Ｔ周的订户数
单位：
户
Ｑ
第T周日报的净利润
单位：
美元
ｆ
起始的日报总订户数
ｆ=80000（户）
四、模型的建立与求解
4.1问题一模型建立与求解
4.1.1问题一的分析
本问题中，根据题意，我们有如下关系式：
提高到最优价格所用的周数
；
第Ｔ周的订户数
；
故第T周日报的净利润
4.1.2问题一模型的建立
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
max
，
s.tp
1.5
4.1.3问题一模型的求解
当n=5000,r=0.1时，这是一个单变量
的函数的最优化问题，
而且是
一个连续可微的函数。
可以利用微积分知识求解，其
求解过程如下：
（1）求驻点：
驻点为：
代入常量参数得到：
根据模型可画出函数Q（p）关于p的图象如下
图一
由图一可知函数Q（p）在
单调递增，在
单调递减，故
，是函数Q（p）的极大值点。
依题意可知日报价格提高了0.05美元，不符合每周提高0.1美元的要求。
假设日报价格不提高：
=120000
假设日报价格提高了0.1美元后：
=120000
根据报社实际情况，在利润相同的条件下，订户数越少，报社的工作量就越小，故取价格提高0.1美元，即日报最优订阅价格为1.6美元。
4.2问题二模型建立与求解
4.2.1问题二模型的分析
数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此需要考虑数据的不准确的可能性。
有些数据的具有相当大的确定性，如日报当前的价格，日报现在的订户数，有些数据的确定性却很低，如日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量，在前面，我们假设n=5000（户），r=0.1（美元/份）
4.2.1问题二模型的建立
考虑r=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减少的用户数量的灵敏性
则有模型
max
s.tn>0
4.2.1问题二模型的求解
由上面的模型可知，n变化时，最优日报价格p的变化如下表一和图二：
n
3000
4000
5000
6000
7000
p
2.08
1.75
1.55
1.41
1.32
表一
问题二模型的图象有如下：
图二
由图二可知，随着n增加，价格p在减少。
4.3问题三模型建立与求解
4.2.1问题三模型的分析
由于模型假设中的参数是估计和预测的，所以应该研究它们所变化时对模型的结果的影响。
我们用灵敏性来解释。
4.3.2问题三模型的建立
设每周的日报上涨价格0.1美元不变,研究n的变化的影响,代入0.1后:
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。
P对n的敏感记作S（p,n）,定义为：
=
，此即为问题三的模型。
4.3.3问题三模型的求解
根据上面的模型画出图形
n
4200
4400
4600
4800
5000
5200
5400
p
1.70238
1.65909
1.61957
1.58333
1.55
1.51923
1.49074
又当n=5000时可以算出
S（p,n）
=
=-0.516
就是报子价格每周增加1%出售日报就减少0.516%份。
五、模型评价
本模型直观易懂，对实际问题的描述是合理的。
相比于其他模型，此模型变量较少，属于单变量问题，求解过程比较简单，所以它能求得最优解。
在计算中，我们采用了合理的算法及相关软件，并做出了图表和图象，使得求解难度大大降低。
对问题四的解答，即应该改变其订阅价格，要根据实际情况来说明，因为在相同的利润条件下，就要考虑报社员工的工作量和报纸的原材料花费，现在的社会讲究人文化和绿色环保，所以应该提高价格，虽说减少了订阅数，但其利润还是保持最大。
六、参考文献
[1]费培之，数学模型实用教材，成都，四川大学出版社，1998年
[2]卢开澄，单目标、多目标与整数规划，北京，清华大学出版社，1999年
[3]傅鹏等，数学实验，重庆，科学出版社，2000年
[4]姜启源，数学建模，北京，高等教育出版社，2009年
七、附录
利用Mathematica编写有如下程序和图象
附表一
?
Graphics?
附表二
?
Graphics?
1.70238
1.65909
1.61957
1.58333
1.55
1.51923
1.49074
附表三
?
Graphics?
5.83333
2.5
0.5
-0.833333
-1.78571
附表四
?
Graphics?
-2.28571
-4.
-16.
8.
3.2
附表五
?
Graphics?
2.08333
1.75
1.55
1.41667
1.32143
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