北师大版九年级数学上册第一章 13正方形的性质与判定 同步练习题.docx

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北师大版九年级数学上册第一章13正方形的性质与判定同步练习题

北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定同步练习题

第1课时　正方形的性质

1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（C）

A．对角线互相垂直平分B．内角和为360°

C．对角线相等D．对角线平分内角

2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED为（C）

A．15°B．35°C．45°D．55°

3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（C）

A．1B．2C．3D．4

4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是

．

5．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（－1，5）．

6．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是CD，BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP＝

．

7．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，延长DA到H，使DH＝DB，在DB上截取DG＝DC，连接GH交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：

①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5.其中正确结论的序号是①②③．

8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.

（1）求证：

△ABE≌△ADF；

（2）若AE＝5，请求出EF的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°.

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（SAS）．

（2）∵△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF.

∵∠BAE＋∠EAD＝90°，

∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°.

∴EF＝

AE＝5

.

9．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

解：

（1）证明：

∵在正方形ABCD中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°，

又∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE.

∴∠AEB＝∠CFD.

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

（2）四边形AECF是菱形．理由如下：

连接AC交BD于点O，则AC⊥BD.

∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.

又∵OB＝OD，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.

又∵AC⊥EF，OA＝OC，

∴四边形AECF是菱形．

10．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．

（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；

（2）求∠EOF的度数．

解：

（1）设BF＝x，则FC＝BC－BF＝24－x.

∵BE＝6，BE＋BF＋EF＝BC，

∴EF＝18－x.

在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，

∴62＋x2＝（18－x）2，解得x＝8.

∴EF＝18－x＝10.

（2）在FC上截取FM＝FE，连接OM，

∵C△EBF＝BE＋EF＋BF＝BC，

∴BE＋EF＋BF＝BF＋FM＋MC.

∴BE＝MC＝6.

∵四边形ABCD为正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCM＝45°.

在△OBE和△OCM中，

∴△OBE≌△OCM（SAS）．

∴∠EOB＝∠MOC，OE＝OM.

∴∠EOM＝∠BOC＝90°.

在△OFE和△OFM中，

∴△OFE≌△OFM（SSS）．

∴∠EOF＝∠MOF＝

∠EOM＝45°.

11．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF.求证：

（1）AE⊥BF；

（2）四边形BEGF是平行四边形．

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.

∴∠ABE＝∠BCF＝90°.

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.

∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.∴∠CEG＝∠BAE.

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CEG＋∠BEA＝90°，即∠AEG＝90°.

∴AE⊥EG.又∵EG∥BF，∴AE⊥BF.

（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，

则AP＝CE，∠EBP＝90°.

∴∠P＝45°.

∵CG为正方形ABCD外角的平分线，

∴∠ECG＝45°.∴∠P＝∠ECG.

在△APE和△ECG中，

∴△APE≌△ECG（ASA）．∴AE＝EG.

∵AE＝BF，∴EG＝BF.

∵EG∥BF，

∴四边形BEGF是平行四边形．

12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F.

（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM∶CM＝1∶2，BE＝

，求AB的长；

（2）如图2，若DA＝DE，求证：

BF＋DF＝

AF.

解：

（1）设BM＝x，则CM＝2x，BA＝BC＝3x.

在Rt△ABM中，E为斜边AM的中点，

∴AM＝2BE＝2

.

∵AM2＝MB2＋AB2，

∴40＝x2＋9x2，解得x＝2.

∴AB＝3x＝6.

（2）证明：

如图，过点A作AH⊥AF，交FD的延长线点H，过点D作DP⊥AF于点P.

∵DF平分∠CDE，

∴∠1＝∠2.

∵DE＝DA，DP⊥AF，

∴∠3＝∠4.

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，

∴∠2＋∠3＝45°.

∴∠DFP＝90°－45°＝45°.

∴AH＝AF.∴HF＝

AF.

∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∠HAD＋∠DAF＝90°，

∴∠BAF＝∠DAH.

又∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．

∴BF＝DH.

∵HF＝DH＋DF＝BF＋DF，

∴BF＋DF＝

AF.

第2课时　正方形的判定

1．下列说法中，不正确的是（D）

A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C．对角线垂直的矩形是正方形

D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

2．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（A）

A．邻边相等的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．两个全等的直角三角形构成正方形

D．轴对称图形是正方形

3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：

①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（B）

A．①②B．②③C．①③D．②④

4．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（A）

A．AB＝CD，AB⊥CD

B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB＝CD，AC⊥BD

D．AB＝CD，AD∥BC

5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边AD∶AB＝（

＋1）∶2时，四边形AECF是正方形．

6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3

．

7．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE.现添加下列条件：

①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④．（填序号）

8．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．正确结论的序号是①②③．

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：

①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是②③④（填序号）．

10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB，PC相交于点P.

（1）猜想四边形PCOB是什么四边形？

并说明理由；

（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形？

解：

（1）四边形PCOB是菱形．理由如下：

∵PB∥AC，PC∥BD，

∴四边形PCOB为平行四边形．

∵四边形ABCD为矩形，

∴OB＝OC.

∴四边形PCOB为菱形．

（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形．理由如下：

∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，

∴四边形PCOB为正方形．

11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC.

∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，即BD⊥AC.

∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵△ACE是等边三角形，EO⊥AC，AO＝OC，

∴∠AEO＝∠CEO＝30°.

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°.

∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°.

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠DAO＝90°.

∴四边形ABCD是正方形．

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：

四边形ABCD是正方形．

证明：

（1）在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE（SSS）．∴∠ADE＝∠CDE.

∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.

∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.

∵AD＝CD，∴BC＝AD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∵AD＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.

∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，

∴∠CBE＝180°×

＝45°.

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.

∴四边形ABCD是正方形．

13．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

（1）求证：

矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2

，CE＝2，求CG的长；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

解：

（1）证明：

作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，

∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP.

∴∠CEQ＝∠CEP＝45°.

∴∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°.

∴∠QEF＝∠PED.

在△EQF和△EPD中，

∴△EQF≌△EPD（ASA）．∴EF＝ED.

∴矩形DEFG是正方形．

（2）在Rt△ABC中，AC＝

AB＝4.

∵EC＝2，∴AE＝CE＝2.

∴DE⊥AC，DE＝EC.

∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形．

∴CG＝2.

（3）∠EFC＝130°或40°.

第3课时　正方形的性质与判定的运用

1．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F.若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（C）

A．3B．4C．5D．6

2．将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（B）

A．nB．n－1

C．4（n－1）D．4n

3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论中正确的个数为（B）

①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．

A．0B．1C．2D．3

4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．

5．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为

．

6．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC，CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝

．

7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上．若CE＝3

，且∠ECF＝45°，则CF的长为2

．

8．如图，已知在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M，N，则下列结论正确的是①②④．

①∠BAE＋∠DAF＝45°；②∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③BM＋DN＝MN；④BE＋DF＝EF.

9．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是2

－2．

10．如图，已知正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°.求证：

MN＝DN－BM.

证明：

在DN上截取DE＝MB，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°.

在△ABM和△ADE中，

∴△ABM≌△ADE（SAS）．

∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD.

∵∠MAN＝∠MAB＋∠BAN＝45°，

∴∠DAE＋∠BAN＝45°.

∴∠EAN＝∠MAN＝45°.

在△AMN和△AEN中，

∴△AMN≌△AEN（SAS）．

∴MN＝EN.

∵EN＝DN－DE，

∴MN＝DN－BM.

11．操作：

将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q.探究：

（1）如图2，当点Q在DC上时，求证：

PQ＝PB；

（2）如图3，当点Q在DC延长线上时，

（1）中的结论还成立吗？

简要说明理由．

解：

（1）证明：

过点P作PN⊥AB于点N，NP延长线交CD于点M，

在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝45°，

∴∠PMQ＝∠PNB＝∠CBN＝90°.

∴四边形CBNM是矩形．

∴CM＝BN，△CMP是等腰直角三角形．

∴PM＝CM＝BN.

∵∠PBN＋∠BPN＝90°，∠BPN＋∠MPQ＝90°，

∴∠MPQ＝∠PBN.

在△PMQ和△BNP中，

∴△PMQ≌△BNP（AAS）．

∴PQ＝PB.

（2）

（1）中结论成立．理由：

过点P作PN⊥AB于点N，NP延长线交CD于点M，

在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD＝45°，

∴∠PMQ＝∠PNB＝∠CBN＝90°.

∴四边形CBNM是矩形．

∴CM＝BN，∴△CMP是等腰直角三角形．

∴PM＝CM＝BN.

∵∠PBN＋∠BPN＝90°，∠BPN＋∠MPQ＝90°，

∴∠MPQ＝∠PBN.

在△PMQ和△BNP中，

∴△PMQ≌△BNP（AAS）．

∴PQ＝PB.

12．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一动点（不与B，C重合）：

①CE平分∠DCF；②AP⊥PE；③AP＝EP.以此三个条件中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：

①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；

（2）请选择一个你认为正确的命题给予证明．

解：

（1）上述三个命题均正确．

（2）答案不唯一，选①③⇒②

证明：

在AB上截取AM＝CP，则BM＝BP.

∴∠BMP＝∠BPM＝45°，∠AMP＝135°.

∵CE平分∠DCF，

∴∠DCE＝45°.∴∠ECP＝135°.

过点A作AG⊥MP交MP的延长线于点G，过点P作PH⊥EC交EC的延长线于点H，

∴∠AMG＝∠PCH＝45°，∠G＝∠H.

∴△AGM≌△PHC（AAS）．∴AG＝PH.

∵AP＝PE，∴Rt△AGP≌Rt△PHE（HL）．

∴∠GPA＝∠PEH.

∵∠BPM＝∠CPH＝45°，B，P，C三点共线，

∴M，P，H三点共线．

∵∠PEH＋∠EPH＝90°，

∴∠GPA＋∠EPH＝90°.

∴∠APE＝90°.

∴AP⊥PE.