第1讲 随机事件的概率教师用.docx

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第1讲随机事件的概率教师用

第1讲　随机事件的概率

【2013年高考会这样考】

1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．

2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．

【复习指导】

随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键．

基础梳理

1．随机事件和确定事件

（1）在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．

（2）在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．

（3）必然事件与不可能事件统称为确定事件．

（4）在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

（5）确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．频率与概率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝

为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：

若A∩B为不可能事件（A∩B＝∅），则称事件A与事件B互斥，其含义是：

事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．

（2）对立事件：

若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：

事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

4．概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

0≤P（A）≤1.

（2）必然事件的概率：

P（A）＝1.

（3）不可能事件的概率：

P（A）＝0.

（4）互斥事件的概率加法公式：

①P（A∪B）＝P（A）＋P（B）（A，B互斥）．

②P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）（A1，A2，…，An彼此互斥）．

（5）对立事件的概率：

P（

）＝1－P（A）．

一条规律

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

两种方法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

（1）直接法：

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；

（2）间接法：

先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（

），即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是（　　）．

A．必然事件B．随机事件

C．不可能事件D．无法确定

答案　B

2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为

，当n很大时，P（A）与

的关系是（　　）．

A．P（A）≈

B．P（A）＜

C．P（A）＞

D．P（A）＝

解析　事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

答案　A

3．（2012·兰州月考）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（　　）．

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析　对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．

答案　D

4．（2011·陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（　　）．

A.

B.

C.

D.

解析　若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为

.

答案　D

5．（2011·湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________（结果用最简分数表示）．

解析　所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P＝

＝

，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率

＝1－P＝

.

答案　

考向一　互斥事件与对立事件的判定

【例1】►判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取一张．

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

[审题视点]可用集合的观点判断．

解　

（1）是互斥事件，不是对立事件．

原因是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

（2）既是互斥事件，又是对立事件．

原因是：

从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

（3）不是互斥事件，也不是对立事件．

原因是：

从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．

【训练1】一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（　　）．

A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

解析　根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．

答案　D

考向二　随机事件的概率与频率

【例2】►（2011·湖南）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：

万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：

毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

（1）完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

[审题视点]第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的X，Y的函数关系，求出Y＜490或者Y＞530对应的X的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率．

解　

（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

（2）由已知得Y＝

＋425，故P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）＝P（Y＜490或Y＞530）＝P（X＜130或X＞210）＝P（X＝70）＋P（X＝110）＋P（X＝220）＝

＋

＋

＝

.

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为

.

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

【训练2】某市统计的2008～2011年新生婴儿数及其中男婴数（单位：

人）见下表：

时间

2008年

2009年

2010年

2011年

新生婴儿数

21840

23070

20094

19982

男婴数

11453

12031

10297

10242

（1）试计算男婴各年的出生频率（精确到0.001）；

（2）该市男婴出生的概率约是多少？

解　

（1）2008年男婴出生的频率为fn（A）＝

＝

≈0.524.

同理可求得2009年、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513.

（2）由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.

考向三　互斥事件、对立事件的概率

【例3】►据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.

（1）求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

[审题视点]

（1）根据互斥事件，第

（1）问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和．

（2）第

（2）问可转化为求以下三种情形的概率和：

①1,2月份各被投诉1次；②1,2月份各被投诉0,2次；③1,2月份各被投诉2,0次．

解　法一　

（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.4＋0.5＝0.9.

（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．

∴P（Ai）＝0.4，P（Bi）＝0.5，P（Ci）＝0.1（i＝1,2），

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2＋A2C1），

一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2），

∴P（D）＝P（A1C2＋A2C1）＋P（B1B2）＝P（A1C2）＋P（A2C1）＋P（B1B2），

由事件的独立性得

P（D）＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.

法二　

（1）设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．

∵P（A）＝0.1，∴P（B）＝1－P（A）＝1－0.1＝0.9.

（2）同法一．

本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．

【训练3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）；

（2）1张奖券的中奖概率；

（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解　

（1）P（A）＝

，P（B）＝

＝

，P（C）＝

＝

.

故事件A，B，C的概率分别为

，

，

.

（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A、B、C两两互斥，∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝

＝

.

故1张奖券的中奖概率为

.

（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P（N）＝1－P（A∪B）＝1－

＝

.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为

.　　

难点突破24——事件对立与互斥的辨别问题

对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件A与它的对立事件

的概率之间有关系式P（A）＋P（

）＝1，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化．

【示例1】►（2012·苏州模拟）甲：

A1，A2是互斥事件；乙：

A1，A2是对立事件，那么（　　）．

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

【示例2】►抛掷一枚均匀的正方体骰子（各面分别标有数字1、

2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A∪B）．