第三章311312 随机事件的概率概率的意义.docx
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第三章311312随机事件的概率概率的意义
3.1.1 随机事件的概率
3．1.2 概率的意义
学习目标
1.在具体情境中，了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义；2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；3.了解概率的意义以及频率与概率的区别．
知识点一 事件的有关概率
思考1 事件“高中生周日不上课”是什么事件？
答案 随机事件．高中生周日可能上课也可能不上课．
思考2 事件的分类是确定的吗？
答案 事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
梳理
1．事件的分类及三种事件
2．对事件分类的两个关键点
（1）条件：
在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
（2）结果发生与否：
有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
知识点二 概率与频率
思考1 频率和概率可以相等吗？
答案 可以相等．但因为每次实验的频率大小是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
思考2 小明说：
“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”对吗？
答案 不一定正确．因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数．
梳理
1．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
2．概率
（1）含义：
概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
（2）与频率联系：
对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
知识点三 概率的意义
思考1 一个保险推销员对人们说：
“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法正确吗？
答案 不正确．在大多数时候，人是不得病的．得病与不得病的概率不相等．
思考2 在天气预报中，预报“明天降水概率为78%”是指“明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水”吗？
答案 不是．“明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性大小为78%.
思考3 一个公平的游戏规则，它的标准是什么？
答案 规则是否公平，标准是获胜的概率是否相等，另外，同一种游戏规则不同，公平性就不一样．
梳理
1．概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．实际问题中的几个实例
（1）游戏的公平性：
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为
，所以这个规则是公平的．
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
（2）决策中的概率思想：
如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则．这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
（3）天气预报的概率解释：
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
（4）试验与发现：
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
（5）遗传机理中的统计规律：
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
类型一 事件属性的判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
（1）从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（2）一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
（3）函数y＝logax（a＞0且a≠1）在其定义域内是增函数；
（4）平行于同一直线的两条直线平行；
（5）某同学竞选学生会主席成功．
解
（2）为不可能事件，（4）为必然事件，
（1）（3）（5）为随机事件．
反思与感悟 事件的分类
事件类型
定义
举例
必然事件
在一定条件下，必然会发生的事件
在山顶上，抛一块石头，石头下落
不可能事件
在一定条件下，肯定不会发生的事件
在常温常压下，铁熔化
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件
掷一枚硬币，出现正面向上
跟踪训练1 下列事件中哪些是必然事件？
哪些是不可能事件？
哪些是随机事件？
①如果x，y均为实数，那么x·y＝y·x；
②三张奖券只有一张中奖，任取一张奖券中奖；
③掷骰子出现7点；
④某高速公路收费站在3分钟内至少经过8辆车；
⑤声音在真空中传播；
⑥地球绕太阳旋转．
解 显然①中等式恒成立，是必然事件；⑥是自然常识，是必然事件，所以①⑥为必然事件．掷骰子不可能出现7点，声音不能在真空中传播，所以③⑤为不可能事件．三张奖券只有一张中奖，任取一张可能中奖也可能不中奖，收费站3分钟内经过的车辆可能多于8辆，也可能少于8辆，还有可能等于8辆，因此②④为随机事件．
类型二 随机试验中条件和结果的判断
例2 指出下列试验的条件和结果．
（1）某人射击一次，命中的环数；
（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取1个球；
（3）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取2个球．
解
（1）条件为射击一次；结果为命中的环数：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种可能的结果．
（2）条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能的结果．
（3）条件为从袋中任取2个球；若记（a，b）表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种可能的结果．
反思与感悟 不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法：
（1）结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；
（2）根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法．
跟踪训练2 下列随机试验中，一次试验各指什么？
它们各有几次试验？
（1）观察某车站连续7列列车的开出时刻；
（2）掷10次骰子，观察每次的点数．
解
（1）一次试验指观察一列列车的开出时刻，总共有7次试验．
（2）一次试验指掷一次骰子观察出现的点数，总共有10次试验．
类型三 利用频率估计概率
例3 下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面朝上的次数m
“正面朝上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
245
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解 由fn（A）＝
可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
反思与感悟 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总在一个稳定值左右摆动，这个稳定值就是概率．
跟踪训练3 某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每小题10分，然后进行了统计，如表是统计结果：
贫困地区：
参加测试的人数
得60分以上的人数
得60分以上的频率
30
16
50
27
100
52
200
104
500
256
800
402
发达地区：
参加测试的人数
得60分以上的人数
得60分以上的频率
30
17
50
29
100
56
200
111
500
276
800
440
（1）利用计算器计算两个地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
（3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
解
（1）贫困地区：
参加测试的人数
得60分以上的人数
得60分以上的频率
30
16
0.533
50
27
0.540
100
52
0.520
200
104
0.520
500
256
0.512
800
402
0.503
发达地区：
参加测试的人数
得60分以上的人数
得60分以上的频率
30
17
0.567
50
29
0.580
100
56
0.560
200
111
0.555
500
276
0.552
800
440
0.550
（2）概率分别为0.5和0.55.
（3）经济上的贫困会导致生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外，经济落后也会使教育事业发展落后，导致人的智力出现差别．
1．在10个学生中，男生有x人．现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为（ ）
A．5B．6
C．3或4D．5或6
答案 C
解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.
2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．3件都是正品B．至少有一件是次品
C．3件都是次品D．至少有一件是正品
答案 D
解析 12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.
3．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在[10,40）上的频率为________．
答案 0.52
解析 [10,40）包含[10,20），[20,30），[30,40）三部分，所以数据落在[10,40）上的频数为13＋24＋15＝52，由fn（A）＝
可得频率为0.52.
4．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5） 2 [15.5,19.5） 4 [19.5,23.5） 9
[23.5,27.5） 18 [27.5,31.5） 11 [31.5,35.5） 12
[35.5,39.5） 7 [39.5,43.5] 3
根据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5]内的概率约是________．
答案
解析 数据落在[31.5,43.5]内的频数为12＋7＋3＝22，样本容量为66，则数据落在[31.5,43.5]内的频率为
＝
，故所求概率约为
.
5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1370
1786
2709
发芽的频率
（1）请完成上述表格；
（2）该油菜籽发芽的概率约为多少？
解
（1）填入题表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
（2）由
（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.902.
1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大．
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
40分钟课时作业
一、选择题
1．从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
答案 C
解析 从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.
2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为（ ）
A．{（男，女），（男，男），（女，女）}
B．{（男，女），（女，男）}
C．{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D．{（男，男），（女，女）}
答案 C
解析 两个小孩儿有大小之分，所以（男，女）与（女，男）是不同的基本事件，故选C.
3．先后抛掷1分、2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，则下列事件中包含三个基本事件的是（ ）
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案 A
解析 “至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个基本事件．故选A.
4．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到的号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
答案 A
解析
＝0.53.
5．下列结论正确的是（ ）
A．设事件A的概率为P（A），则必有0＜P（A）＜1
B．事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案 C
解析 A项不正确，因为0≤P（A）≤1；若事件A是必然事件，则P（A）＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确．故选C.
6．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表：
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为
＝
.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为
.故选C.
二、填空题
7．对某产品进行抽样检查，数据如下：
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
根据表中的数据，如果要从该产品中抽到950件合格品，则大约需要抽查________件产品．
答案 1000
解析 根据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，因此合格品出现的概率约为0.95，因此要抽到950件合格品，大约需要抽查1000件产品．
8．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10）内的频数为________，估计数据落在[2,10）内的概率约为________．
答案 64 0.4
解析 数据落在[6,10）内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4.
9．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．
答案 3∶1
解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.
10．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：
g）：
492 496 494 495 498
497 501 502 504 496
497 503 506 508 507
492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为________．
答案 0.25
解析 袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的共有5袋，所以其概率约为
＝0.25.
三、解答题
11．一枚硬币连掷3次，试列举出试验的所有结果．
解 Ω表示“连掷3次硬币”，则Ω＝{（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}．
12．街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？
若不公平，请说明哪方占便宜？
解 两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是
＝
，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是
＝
.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜．
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