《图形的相似》专题练习含答案解析.doc

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图形的相似

1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A． B． C． D．

2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点P B．点O C．点M D．点N

3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：

1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．54

4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：

　　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！

）

5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：

PQ：

QR．

6．计算：

|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．

7．计算：

﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．

8．计算：

|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．

9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）

10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，≈1.732．）

12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：

皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

（1）所需的测量工具是：

　　；

（2）请在图中画出测量示意图；

（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．

13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：

AC=AE；

（2）求AD的长．

15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．

（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；

（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；

（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由

（1）中的抛物线平移得到？

请说明理由．

16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：

供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：

供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：

供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）D，F两点间的距离是　　；

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？

若能，求出t的值；若不能，说明理由；

（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

图形的相似

参考答案与试题解析

1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．

【解答】解：

连接AM，

∵AB=AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，

∴根据勾股定理得：

AM===4，

又S△AMC=MN•AC=AM•MC，

∴MN==．

故选：

C．

【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：

直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．

2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点P B．点O C．点M D．点N

【考点】位似变换．

【分析】根据位似变换的定义：

对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．

【解答】解：

点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．

【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考查位似图形的概念．

3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：

1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．54

【考点】相似三角形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：

1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．

【解答】解：

∵△ABC∽△DEF，相似比为3：

1

∴△ABC的周长：

△DEF的周长=3：

1

∵△ABC的周长为18

∴△DEF的周长为6．

故选C．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．

（1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：

　∠B=∠1或　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！

）

【考点】相似三角形的判定．

【专题】压轴题；开放型．

【分析】此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的已知条件是：

∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．

【解答】解：

此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．

【点评】此题考查了相似三角形的判定：

有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题．

5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：

PQ：

QR．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【专题】几何综合题．

【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．

（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；

（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．

【解答】解：

（1）∵四边形ACED是平行四边形，

∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，

∴△BCP∽△BER；

同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，

∴△PCQ∽△RDQ；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAP=∠PCQ，

∵∠APB=∠CPQ，

∴△PCQ∽△PAB；

∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，

∴△PAB∽△RDQ．

（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴BC=AD=CE，

∵AC∥DE，

∴BC：

CE=BP：

PR，

∴BP=PR，

∴PC是△BER的中位线，

∴BP=PR，

又∵PC∥DR，

∴△PCQ∽△RDQ．

又∵点R是DE中点，

∴DR=RE．

，

∴QR=2PQ．

又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，

∴BP：

PQ：

QR=3：

1：

2

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

6．计算：

|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．

【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】根据实数的有关运算法则计算．

【解答】解：

原式=

=﹣．

【点评】本题考查实数的基本运算，难度适中．

7．（2012•遂宁）计算：

﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：

原式=

=．

【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：

负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．

8．计算：

|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．

【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简．

【专题】计算题．

【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：

原式=﹣3+1﹣=﹣2．

【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：

任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．

9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．

【解答】解：

在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10

又DE=AB=1.5，

∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8

答：

此时风筝离地面的高度约是18.8米．

【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．

10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，≈1.732．）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】首先分析图形：

根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形Rt△BCD、Rt△ACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案．

【解答】解：

在Rt△BCD中，tan45°==1，∴CD=BC．

在Rt△ACD中，tan30°=，

∴．

∴．

∴3CD=CD+10．

∴CD=+5≈13.66（米）

∴条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．

【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：

皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

（1）所需的测量工具是：

　皮尺，标杆　；

（2）请在图中画出测量示意图；

（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．

【考点】相似三角形的应用．

【专题】方案型；开放型．

【分析】树比较高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在阳光下出现的影子来解决．

【解答】解：

（1）皮尺，标杆；

（2）测量示意图如图所示；

（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，

∵△DEF∽△BAC，

∴，

∴，

∴．

【点评】本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．

本题答案有多种，测量方案也有多种，如

（1）皮尺、标杆、平面镜；

（2）皮尺、三角尺、标杆．

13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．

【解答】解：

作BD⊥AC于D．

在Rt△ADB中，sin∠ABD=．

∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．（3分）

∵cos∠ABD=．

∴BD=AB•cos∠ABD=15×cos21°≈14.00米．（5分）

在Rt△BDC中，tan∠CBD=．

∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．（8分）

∵cos∠CBD=．

∴BC=≈≈17.77米（10分）

∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米（11分）

答：

折断前发射塔的高约为34.1米．（12分）

注意：

按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分．

①若到最后再进行近似计算结果为：

AD+CD+BC=34.1；

②若解题过程中所有三角函数值均先精确到0.01，则近似计算的结果为：

AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．

【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：

AC=AE；

（2）求AD的长．

【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】

（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由

（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．

【解答】解：

（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），

∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），

∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），

又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），

∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），

∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，

∴根据勾股定理得：

AB==13，

由

（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，

设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，

在Rt△BED中，根据勾股定理得：

BD2=BE2+ED2，

即（12﹣x）2=x2+82，

解得：

x=，

∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，

∴根据勾股定理得：

AD==．

【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：

根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．

15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．

（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；

（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；

（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由

（1）中的抛物线平移得到？

请说明理由．

【考点】作图﹣位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】

（1）A，E，D三点坐标已知，可用一般式来求解；

（2）延长OA到A′，使OA′=3OA，同理可得到其余各点；

（3）根据二次项系数是否相同即可判断两个函数是否由平移得到．

【解答】解：

（1）设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c

∵A（1，），E（，2），D（2，）（1分）

∴，解之，得

∴过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=﹣2x2+6x﹣．（4分）

（2）如图．（7分）

（3）不能，理由如下：

（8分）

设经过A′，E′，D′三点的抛物线的表达式为y=a′x2+b′x+c′

∵A′（3，），E′（，6），D′（6，）

∴，

解之，得

a=﹣2，，

∴a≠a′

∴经过A′，E′，D′三点的抛物线不能由

（1）中的抛物线平移得到．（8分）

【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值．

16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：

供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：

供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：

供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

【考点】作图—应用与设计作图．

【专题】压轴题；方案型．

【分析】

（1）由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；

（2）作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；

（3）作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D的值就是最小值．

【解答】解：

方案一：

由题意可得：

∵A在M的正西方向，

∴AM∥OE，∠BAM=∠BOE=30°，

又∵∠BMA=60°

∴MB⊥OB，

∴点M到甲村的最短距离为MB，（1分）

∵点M到乙村的最短距离为MD，

∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，

即最小值为MB+MD=3+（km）；（3分）

方案二：

如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，

连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE=AM，

∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）

在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，

ME=DM=×，

∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，（6分）

在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，

则P'M=P′M'，

∵AP'+P'M'＞AM'，

∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD+DM=AM'=；（7分）

方案三：

作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，

∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN

在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，

∴MH=3，∴NE=MH