初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx
《初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
全等三角形
类型一：
全等三角形性质的应用
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨:
AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：
AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.
总结升华：
已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？
为什么？
【答案】证明：
由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：
AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨:
由全等三角形性质可知：
∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：
在ΔABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B，
又∠A=30°，∠B=50°，
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.
求证：
（1）CD⊥AB；
（2）EF∥AC.
【答案】
（1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
（2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°，
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：
全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：
△ADF≌△BCE．
思路点拨:
欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
解析：
∵AC＝BD（已知）
∴AB-BD＝AB-AC（等式性质）
即AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE（SAS）
总结升华：
利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：
（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，
（2）证明这两个三角形全等；
（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：
AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．
求证AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD＝90°（垂直定义）
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE（S．A．S）
∴AF＝DE（全等三角形对应边相等）
类型三：
综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。
求证：
AB+AC>2AD.
思路点拨:
要证AB+AC>2AD，由图想到：
AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：
延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD（SAS）.
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.
总结升华：
通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：
【变式1】已知：
如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
求证：
BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC（ASA）.
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF（AAS）
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：
（1）AE＝CF，
（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF
思路点拨:
（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，
（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）由
（1）
（2）可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全等．
解析：
（1）在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）
（2）∵∠AEB＝∠CFD（全等三角形对应角相等）
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）
（3）在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE（SAS）
∴∠AFE＝∠CEF（全等三角形对应角相等）
总结升华：
在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE（SAS）
∴AG＝BC（全等三角形对应边相等）
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD（SAS）
∴AF＝CB（全等三角形对应边相等）
∴AF＝AG（等量代换）
6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：
AF平分∠BAC．
思路点拨:
若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
解析：
在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）
∴AD=AE（全等三角形对应边相等）
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）
∴∠DAF=∠EAF（全等三角形对应角相等）
∴AF平分∠BAC（角平分线的定义）
总结升华：
条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：
【变式1】求证：
有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．
【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
已知：
如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′
求证：
△ABC≌△A′B′C′
证明：
在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL）
∴∠B=∠B′（全等三角形对应角相等）
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：
OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴OD=OC．
7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断：
猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？
并证明你的猜想。
思路点拨:
寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
解析：
结论：
DE+DF=CG
方法一：
（截长法）板书此种方法（3分钟）
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG，DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华：
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）
总结：
截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法
方法三（面积法）使用等积转化
引申：
如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？
DE、DF和CG会有怎样的关系？
画出图形，写出你的猜想并加以证明
举一反三：
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：
（1）截长法
（2）补短法（3）面积法
轴对称
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
典例1．下列几何图形中，线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
典例：
1、如图，Rt△ABC，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D为AB中点，
P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是
2、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q为
CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证∠APQ是多少度
考点四、线段垂直平分线的性质
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等归类回忆角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________⑵角平分线上的点到________________________相等
典例1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。
2、如图，△ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：
AD垂直平分BC
3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）
A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米
4、如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD=28,则AM=
F
E
D
C
B
A
G
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G，交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论：
①∠CED=∠CDE；②︰︰；③∠ADF=2∠ECD；
④；⑤CE=DF.其中正确结论的序号是（）
A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤
考点五、等腰三角形的特征和识别
典例1、如图，△ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC
交AB于F，则四边形AFDE的周长为______。
2、如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，EF过D
且EF∥BC，若AB=7，BC=8，AC=6，则△AEF周长为（）
A.15B.14C.13D.18
N
M
F
E
C
D
B
A
3、如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且
AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=________度．
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________
5、△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于°
6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于
7、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE=度.
8、如图：
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。
试说明DE=DF。
F
E
D
C
B
A
9、如图,E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，
DF=EF，BD=CE.
求证：
△ABC是等腰三角形.
考点六、等边三角形的特征和识别
⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________
⑵三个角相等的三角形是__________三角形⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形
特别的：
等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________
典例1、下列推理中，错误的是（ ）
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
A
B
C
D
E
M
求证：
M是BE的中点。
考点七、30°所对的直角边是斜边的一半
典例
1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直
于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（）
A．1mB．2mC．3mD．4m
2、如图：
△ADC中，∠A=15°，∠D=90°，B在AC的
垂直平分线上，AB=34，则CD=（）
A.15B.17
C.16D.以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？
第4题图
甲
4、如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF=
5、在中，，的垂直平分线交于点，交于点．如果，求的长
实数
例1、
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
①（-3）2②02③-0.012
（2）下列说法对不对？
为什么？
① 4有一个平方根② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：
（1）（-3）2和02有平方根，因为（-3）2和02是非负数。
-0.012没有平方根，因为-0.012是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
例2、求下列各数的平方根：
（1）9
（2）（3）0.36（4）
例3、设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
解析：
（估算）因为，所以选B
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.
【答案】1）；.2）-3.3），，
【变式2】求下列各式中的
（1）
（2） （3）
【答案】
（1）
（2）x=4或x=-2（3）x=-4
例4、判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；
（2）的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，
解析：
（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
第16页共16页
升级会员 