圆的知识点总结及典型例题.docx
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圆的知识点总结及典型例题
《圆》章节知识点复习
、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2
、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3
、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆：
至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
dr点C在圆内;
dr点B在圆上;
dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
3、直线与圆相交
dr
无交点；2、直线与圆相切
dr
有一个交点;
dr
有两个交点；
外切（图2）有一个交点dRr；
内切（图4）有一个交点dRr；
五、垂径定理垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
即:
以上共4个定理,
简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中
2个即可推出其它
3个结论,
①AB是直径
②AB
CD③CEDE
④弧BC弧BD
⑤弧AC弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在OO中，TAB//CD
•••弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推
3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①AOBDOE:
②ABDE;
③OCOF；④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：
•••AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
•AOB2ACB
2、圆周角定理的推论：
E
O
A
D
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;
即：
在OO中，•••C、D都是所对的圆周角
•CD
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是
直径。
即：
在OO中，•••AB是直径或TC90
C90•-AB是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△ABC中，•••OCOAOB
•••△ABC是直角三角形或C90
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即:
在OO中，
•••四边形ABCD是内接四边形
•CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
•••MNOA且MN过半径0A外端
•MN是O0的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
•••PA、PB是的两条切线
（1）
B
相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：
在O0中，•••弦AB、CD相交于点P,
PAPBPCPD
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：
在OO中，•••直径ABCD,•••CE2AEBE
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项。
即：
在OO中，TPA是切线，PB是割线
PA2PCPB
（4）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：
在OO中，•••PB、PE是割线
PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
O1O2垂直平分AB。
即：
TOOi、OO2相交于A、B两点
•-O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
RtO1O2C中，AB2CO；.OQ22CO22;
（2）外公切线长：
CO2是半径之差；内公切线长：
CO2是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在OO中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行
OD:
BD:
OB1:
.3:
2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:
AE:
OA1:
1:
2:
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:
OB:
OA1:
3:
2.
卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：
（1）弧长公式：
I
180
（2）扇形面积公式:
nR2
-IR
360
n:
圆心角R:
扇形多对应的圆的半径
I:
扇形弧长S：
扇形面积
A
B
2、圆柱:
（1）圆柱侧面展开图
S表s侧2S底=2rh2r2
典型例题
例1•两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O,0'是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜
PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求/TPN的大小.
例2•如图，AB为OO直径，E是Be中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10，则AC=
例3.如图，OO的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（）
例4.如图，在OO中，AB、CD是两条弦，0E丄AB,OF丄CD，垂足分别为EF.
（1）如果/AOB=/COD，那么0E与OF的大小有什么关系？
为什么？
（2）如果oe=of，那么Ab与Cd的大小有什么关系？
ab与cd的大小有什么关系？
/为什么？
/aob
与/COD呢？
例5.如图3和图4,MN是OO的直径，弦AB、CD/相交于MNE上的一点P,ZZAPM=/CPM.
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.
（2）
若交点P在O0的外部，上述结论是否成立？
若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.
例8.如图所示，点A坐标为（0,3）,OA半径为1,点B在x轴上.
（1）若点B坐标为（4,0）,ZB半径为3,试判断/A与/B位置关系;
（2）若/B过M（-2,0）且与ZA相切，求B点坐标.
例9.如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a,/求正六边形的周长和面积.
例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于/ABQ的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.
（1）求/ABC的边AB上的高h.
（2）设DN=x，且hDN出，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
hAB
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.
例11.操作与证明：
如图所示，0是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇
形纸板的圆心放在0处，并将纸板绕0点旋转，求证：
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
例12.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm2.
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少?
AP,
例13、如图，AB是/O的直径，BC是弦，ODZBC于E,交BC于D.
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC=8,ED=2,求/O的半径.
例14•已知：
如图等边△ABC内接于/O,点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD
连结CD.
（1）若AP过圆心O，如图厶请你判断△PDC是什么三角形？
并说明理由.
（2）若AP不过圆心O，如图Z,△PDC又是什么三角形？
为什么?
例15.如图，四边形ABCD内接于/O,BD是/0的直径，AECD，垂足为E,DA平分BDE.
（1）求证：
AE是/0的切线；
（2）若DBC30°,DE1cm，求BD的长.
例16、如图，已知在/0中，AB=4.3,AC是/0的直径，AC/BD于F,/A=30°
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径
例17.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形.
（1）求这个扇形的面积（结果保留）.
（2）在剩下的三块余料中，能否从第/块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？
请说明理由.
（3）
当/0的半径R（R0）为任意值时，
（2）中的结论是否仍然成立？
请说明理由.
例18.
（1）如图OA、OB是/O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点：
过点C作CD切/O于点D，连结AD交DC于点E.求证：
CD=CE
⑵若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交/O于B',其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？
为什么？
CF的交点，其他条件
⑶若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到ZO外的CF,点E是DA的延长线与
例19、（2010山东德州）如图，在/ABC中，AB=AC,D是BC中点，AE平分/BAD
交BC于点E,点O是AB上一点，ZO过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.
（1）
求证：
BC与/O相切；
（2）当/BAC=120时，求/EFG的度数.
例20、（2010广东广州）如图，OO的半径为1，点P是OO上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是ApB上
任一点（与端点A、B不重合），DE丄AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作OD，分别过点A、B作
OD的切线，两条切线相交于点C.
（1）求弦AB的长；
（2）判断/ACB是否为定值，若是，求出/ACB的大小；否则，请说明理由;
（3）记厶ABC的面积为S,若—洼=43，求△ABC的周长.
DE
例21.（2010江西）“6”形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B,0B与小圆相交于A,BC//AD,CDZB
H/FM,BCZDG,DHZBH于H，设FOB,OB4,BC
（1）求证：
AD是小圆的切线；
（2）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由;
（3）当30，求DH的长
例22.（2010江苏泰州，28,12分）在平面直角坐标系中，直线ykxb（k为常数且0）分别交x轴、y
轴于点A、B,OO半径为「5个单位长度.
⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB
1求k的值；
2若b=4,点P为直线ykxb上的动点，过点P作OO的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC丄PD时，求点P的坐标.
1
⑵若k3,直线丫kxb将圆周分成两段弧长之比为1:
2,求b的值.（图乙供选用）
例23.如图，在OO中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD,MC丄AB,ND丄AB,M、N/在OO上.
（1）求证：
Am=?
N；
（2）若c、d分别为oa、ob中点，贝yAmMnNb成立吗?
c?
.mcoolraa.
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