北师大版九年级下册数学期中试卷.doc

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北师大版九年级下册数学期中试卷

一．选择题（共10小题）

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

3．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（　　）

A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m

4．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（　　）

A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°

5．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

6．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）

A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）

B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

7．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3

8．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

9．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）

A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4

10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共10小题）

11．如图，一山坡的坡度为i=1：

，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　米．

12．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是　　．

13．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为　　．

14．同角三角函数的基本关系为：

（sinα）2+（cosα）2=1，=tanα．利用同角三角函数的基本关系求解下题：

已知tanα=2，则=　　．

15．规定：

sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．根据初中学过的特殊角的三角函数值，求得sin75°的值为　　．

16．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　　．

17．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　　．

18．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于　　．

19．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线　　．

20．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点A作AB⊥x轴于点B，过抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）的顶点C作CD⊥x轴于点D，连结AD、BC．则四边形ABCD的面积为　　．

三．解答题（共10小题）

21．．

22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；

（2）求cos∠ABE的值．

23．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．

（1）求证：

=；

（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．

24．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：

sin22°≈，cos22°，tan22）

25．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）

（1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

26．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

27．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

28．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

29．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．

（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

30．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

北师大版九年级下册数学期中试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．

【解答】解：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，

∵AD⊥BC，

∴sinB=，

sinB=sin∠DAC=，

综上，只有C不正确

故选：

C．

【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．

2．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．

【解答】解：

∵sinA==，

∴设BC=4x，AB=5x，

又∵AC2+BC2=AB2，

∴62+（4x）2=（5x）2，

解得：

x=2或x=﹣2（舍），

则BC=4x=8cm，

故选：

C．

【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．

3．（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（　　）

A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m

【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．

【解答】解：

设MN=xm，

在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，

∴BN=MN=x，

在Rt△AMN中，tan∠MAN=，

∴tan30°==，

解得：

x=8（+1），

则建筑物MN的高度等于8（+1）m；

故选A．

【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．

4．（2016•雅安校级自主招生）已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（　　）

A．0＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°

【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．

【解答】解：

＜＜1，

由正切函数随锐角的增大而增大，得

tan30°＜tanA＜tan45°，

即30°＜A＜45°，

故选：

B．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．

5．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．

【解答】解：

由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，

反比例函数y=的图象在第二、四象限，

故选：

B．

【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

6．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）

A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）

B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．

【解答】解：

A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；

B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；

C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；

D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；

故选D．

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

7．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．

【解答】解：

∵y=﹣x2+2x+c，

∴对称轴为x=1，

P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

∵3＜5，

∴y2＞y3，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，

故y1=y2＞y3，

故选D．

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

8．（2016•通辽）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

【解答】解：

连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=，

故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又∵∠ABD=60°，

∴∠CDB=30°，

∴∠COB=60°，

∴OC=2，

∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．

故选A．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．

9．（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）

A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4

【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．

【解答】解：

将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，

∵y=（x﹣1）2+2，

∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，

故答案为C．

【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．

10．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．

【解答】解：

∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，

∴c=0，

∴abc=0

∴①正确；

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

∴②不正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴是x=﹣，

∴﹣，b＜0，

∴b=3a，

又∵a＜0，b＜0，

∴a＞b，

∴③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，

∴④正确；

综上，可得

正确结论有3个：

①③④．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

二．填空题（共10小题）

11．（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：

，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米．

【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．

【解答】解：

根据题意得tan∠A===，

所以∠A=30°，

所以BC=AB=×200=100（m）．

故答案为100．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：

坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：

m的形式

12．（2016•永春县模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是　　．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，

∴sinA==．

故答案为．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：

在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

13．（2016•杭州校级模拟）在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为　3　．

【分析】由△ABC的面积为6可得ab=12，再由勾股定理可得a2+b2=62=36，再由tanA+tanB=+=求解．

【解答】解：

∵△ABC的面积为6，

∴ab=12．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，

∴a2+b2=62=36，

∴tanA+tanB====3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键是掌握正切定义．

14．（2016•兰州模拟）同角三角函数的基本关系为：

（sinα）2+（cosα）2=1，=tanα．利用同角三角函数的基本关系求解下题：

已知tanα=2，则=　　．

【分析】将（sinα）2+（cosα）2=1代入后得到（tanα+），然后求值即可．

【解答】解：

==（tanα+）=×（2+）=，

故答案为：

．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，解题的关键是能够对代数式进行正确的变形，难度不大．

15．（2016•临沂一模）规定：

sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．根据初中学过的特殊角的三角函数值，求得sin75°的值为　　．

【分析】根据sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny，可得答案．

【解答】解：

sin75°=sin（45°+30°）=sin45°•cos30°+cos45°•sin30°

=×+×

=，

故答案为：

．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，利用sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny是解题关键．

16．（2016•牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　﹣3　．

【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．

【解答】解：

把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得

4a+6+c=4，

∴4a+c=﹣2，

∴4a+c﹣1=﹣3，

故答案为﹣3．

【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．

17．（2016•泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　﹣4　．

【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．

【解答】解：

设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，

∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，

∴x1+x2=﹣=2，x1，•x2=﹣，

∴+==﹣4，

故答案为：

﹣4．

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．

18．（2016•普陀区一模）如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于　1　．

【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．

【解答】解：

∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），

∴，

解得m=﹣4，n=5，

∴m+n=﹣4+5=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式．

19．（2016•河东区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线　x=1　．

【分析】根据二次函数的图象具有对称性，由抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，可以得到它的对称轴，本题得以解决．

【解答】解：

∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=，

故答案为：

x=1．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，知道二次函数的图象具有对称性．

20．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点A作AB⊥x轴于点B，过抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）的顶点C作CD⊥x轴于点D，连结AD、BC．则四边形ABCD的面积为　4　．

【分析】根据题意知道两个抛物线关于原点对称，从而判断四边形ABCD的形状为平行四边形，然后根据抛物线的顶点坐标确定CD和BD的长，利用平行四边形的面积计算方法确定面积即可．

【解答】解：

∵抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）与抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）关于原点对称，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵抛物线y=a（x+1）2﹣2（x≤0，a为常数）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），抛物线y=﹣a（x﹣1）2+2（x≥0，a为常数）的顶点坐标为（1，2），

∴BD=2，CD=2，

∴S四边形ABCD=BD×CD=2×2=4，

故答案为：

4．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意确定四边形ABCD的形状，难度不大．

三．解答题（共10小题）

21．（2016•济南校级模拟）．

【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：

原式=1×﹣4××+×

=﹣+

=．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

22．（2016•江西模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；

（2）求cos∠ABE的值．

【分析】

（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；

（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．

【解答】解：

（1）在△ABC中，