初一奥赛培训01：有理数的巧算.doc

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初一奥赛培训01：

有理数的巧算

一、解答题（共16小题，满分150分）

1、计算：

（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46

（2）

2、计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

3、计算：

S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．

4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

5、计算3001×2999的值．

6、计算103×97×10009的值．

7、计算：

8、计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．

9、计算：

（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=　_________　

10、计算：

11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．

14、计算：

+++…+．

15、计算下列各式的值：

（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；

（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；

（3）1991×1999﹣1990×2000；

（4）4726342+4726352﹣472633×472635﹣472634×472636；

（5）

（6）1+4+7+…+244；

（7）1+

（8）1

16、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

答案与评分标准

一、解答题（共16小题，满分150分）

1、计算：

（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46

（2）

考点：

有理数的混合运算。

专题：

计算题。

分析：

（1）先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的；

（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的．

解答：

解：

（1）原式=[47﹣（18﹣）×]÷0.46=[47﹣×]×=×=20；

（2）原式===．

点评：

进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

2、计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

考点：

因式分解的应用；有理数的混合运算。

分析：

直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

解答：

解：

原式=（211×555+211×445）+（445×789+555×789），

=211×（555+445）+（445+555）×789，

=211×1000+1000×789，

=1000×（211+789），

=1000000．

点评：

本题考查因式分解的运用．加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

3、计算：

S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．

考点：

有理数的乘方。

专题：

规律型。

分析：

分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“﹣1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“﹣1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．

解答：

解：

S=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（﹣1）n+1•n．

下面需对n的奇偶性进行讨论：

当n为偶数时，上式是个（﹣1）的和，所以有

S=（﹣1）×=﹣；

当n为奇数时，上式是个（﹣1）的和，再加上最后一项（﹣1）n+1•n=n，所以有

S=（﹣1）×+n=．

点评：

本题属规律性题目，解答此题时要注意对n的奇偶性进行讨论，再根据有理数的乘方法则计算，找出其规律．

4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

考点：

整数的奇偶性问题。

专题：

综合题。

分析：

分析因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“﹣”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“﹣”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

解答：

解：

现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“﹣”，显然

n﹣（n+1）﹣（n+2）+（n+3）=0．

这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）++（1993﹣1994﹣1995+1996）﹣1997+1998=1．

所以，所求最小非负数是1．

点评：

说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

5、计算3001×2999的值．

考点：

平方差公式。

专题：

计算题。

分析：

将积中的两个因数变为相同两数的和与差的积，再运用平方差公式计算即可．

解答：

解：

3001×2999=（3000+1）（3000﹣1）

=30002﹣12=8999999．

点评：

本题考查了平方差公式再实数运算中的作用，复杂的实数运算中，运用乘法公式可使计算简便．

6、计算103×97×10009的值．

考点：

平方差公式。

专题：

计算题。

分析：

本题可根据平方差公式：

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，化简式子，把103看成100+3，把97看成100﹣3，把10009看成10000+9计算，得出答案．

解答：

解：

103×97×10009，

=（100+3）（100﹣3）（10000+9），

=（1002﹣9）（1002+9），

=1004﹣92，

=99999919．

点评：

本题主要考查了平方差公式的运用，难度适中．

7、（2000•内蒙古）计算：

考点：

平方差公式；有理数的混合运算。

专题：

计算题。

分析：

分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：

12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．

解答：

解：

由题意可设字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，

于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．

应用平方差公式化简得

n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，

即原式分母的值是1，

所以原式=24690．

点评：

此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细．

8、计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．

考点：

平方差公式。

分析：

分析式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在（2+1）前面有一个（2﹣1），就可以连续递进地运用（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2了．

解答：

解：

原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×（216+1）（232+1），

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）×（232+1），

=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），

=（232﹣1）（232+1），

=264﹣1．

点评：

本题考查了平方差公式的运用，构造能使用平方差公式的条件是解题的关键．

9、计算：

（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=　　

考点：

平方差公式。

分析：

利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．

解答：

解：

（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），

=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），

=××××××…××××，

=×，

=．

点评：

本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．

10、计算：

考点：

有理数的混合运算。

专题：

规律型。

分析：

首先要仔细审题，看似挺复杂，但是只要找出其中的规律，就会把问题简单化．四个括号中均包含一个共同部分++…，我们用一个字母表示它以简化计算．

解答：

解：

设：

m=++…，则

原式=（m+）（1+m）﹣（1+m+）m

=（m+㎡++）﹣（m+㎡+），

=

点评：

本题主要考查的是有理数混合运算的拓展练习，有一定的规律性，本题难度适中．

11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

考点：

有理数的混合运算。

专题：

计算题；应用题。

分析：

由于若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．由此即可求解．

解答：

解：

取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，

所以总分为：

90×20+（﹣3）+1+4+（﹣2）+3+1+（﹣1）+（﹣3）+2+（﹣4）+0+2+（﹣2）+0+1+（﹣4）+（﹣1）+2+5+（﹣2）

=1800﹣1

=1799；

平均分为90+（﹣1）÷20=89.95．

点评：

此题主要考查了有理数的混合运算，解题时把所给数据分别减去90，这样就会大大简化计算，使解题变得比较方便．

12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

考点：

有理数的加法。

专题：

规律型。

分析：

观察发现：

首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

用字母S表示所求算式，即S=1+3+5++1997+1999①；再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995++3+1②．

将①，②两式左右分别相加除以2可得结果．

解答：

解：

令S=1+3+5++1997+1999①；

再根据加法交换律将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995++3+1②．

2S=（1+1999）+（3+1997）+…+（1997+3）+（1999+1）

=2000+2000+…+2000+2000（1000个2000）

=2000×1000

=2000000．

∴S=1000000．

故1+3+5+7+…+1997+1999的值为：

1000000．

点评：

本题考查了有理数的加法．一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等（本题3﹣1=5﹣3=7﹣5=1999﹣1997，都等于2），那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．

考点：

有理数的乘方。

专题：

规律型。

分析：

分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减易于计算．

解答：

解：

设S=1+5+52++599+5100，①

所以5S=5+52+53++5100+5101．②

②﹣①得

4S=5101﹣1，

则S=．

点评：

说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．

14、计算：

+++…+．

考点：

有理数的混合运算。

专题：

计算题；规律型。

分析：

一般情况下，分数计算是先通分．但是本题通分计算将很繁，所以不通分，利用如下一个关系式：

来把每一项拆成两项之差，然后再计算即可求出结果．

解答：

解：

∵，

∴原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣，

=1﹣，

=．

点评：

此题主要考查了有理数的混合运算，本题解题关键是使用拆项法是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

15、计算下列各式的值：

（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；

（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；

（3）1991×1999﹣1990×2000；

（4）4726342+4726352﹣472633×472635﹣472634×472636；

（5）

（6）1+4+7+…+244；

（7）1+

（8）1

考点：

有理数的混合运算。

专题：

规律型。

分析：

（1）相邻两个数之和等于2，一共有个数，再进行计算即可；

（2）每四个数之间有规律，地一个和第三个数之和等于﹣2，第二个数与第四个数之和等于﹣2，一共90个数，再计算即可；（3）把1991换成1990+1，1999换成2000﹣1计算即可；

（4）利用平方差公式计算即可；

（5）利用=×（﹣）计算即可；

（6）第一个数与最后一个数之和等于245，第二个数与倒数第二个数之和等于245，于是只要求出有几个数即可，最后一个数等于1+3（n﹣1），即可求出个数，再进行计算即可；

（7）设原式=m，则么3m=3+m﹣，再解出m即可；

（8）先对原式变形，再利用=+进行计算即可．

解答：

解：

（1）原式=（﹣1+3）+（﹣5+7）+（﹣9+11）+…+（﹣1997+1999）

=2××

=1000；

（2）原式=（11﹣13）+（12﹣14）+（15﹣17）+…+（﹣97+98）+（﹣98+100）

=﹣2×

=﹣90；

（3）原式=（1990+1）（2000﹣1）﹣1990×2000

=1990×2000﹣1990+2000﹣1﹣1990×2000

=10﹣1

=9；

（4）原式=4726342+4726352﹣（472634﹣1）×（472634+1）﹣（472635﹣1）（472635+1）

=4726342+4726352﹣4726342+1﹣4726352+1

=2；

（5）原式=×（1﹣+﹣+…+﹣）

=×（1﹣）

=×

=；

（6）根据题意可知第n项就是an=1+3（n﹣1），

即有244=1+3（n﹣1），

∴n=82，

∴一共有82个数，

又∵1+244=245，4+241=245…，

∴原式=（1+244）×82=20090；

（7）设原式=m，

那么3m=3+m﹣，

∴2m=3﹣，

∴m=；

（8）原式=﹣+﹣+﹣

=（1+）﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）

=1+﹣﹣+…﹣﹣

=1﹣

=．

点评：

本题考查的是有理数的运算能力，注意公式及规律的运用．

16、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

考点：

有理数的混合运算。

专题：

应用题。

分析：

观察各数，可发现它们都接近80，可以80为准，超过的记整数，不足的记负数，把这些数相加，再加上80×20，最后除以20即可．

解答：

解：

由题意得

[80×20+（1﹣8﹣3+3﹣7+5+12+4﹣5﹣17﹣4+17+0+10﹣4+11+6﹣2﹣6+5）]÷20

=（1600+18）÷20

=80.9．

答：

这组同学的平均分为80.9分．

点评：

此题考查有理数混合运算的应用，认真读题，理清题意，再列式计算．