初一奥赛培训04:一元一次方程.doc
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初一奥赛培训04:
一元一次方程
一、解答题(共16小题,满分150分)
1、解方程﹣[x﹣(x﹣)]﹣=x+.
2、已知下面两个方程
3(x+2)=5x,①
4x﹣3(a﹣x)=6x﹣7(a﹣x)②
有相同的解,试求a的值.
3、已知方程2(x+1)=3(x﹣1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)﹣3(x﹣a)]=3a的解.
4、解关于x的方程(mx﹣n)(m+n)=0.
5、解方程,(a+x﹣b)(a﹣b﹣x)=(a2﹣x)(b2+x)﹣a2b2.
6、已知(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x﹣2m)+m的值.
7、已知关于x的方程a(2x﹣1)=3x﹣2无解,试求a的值.
8、k为何正数时,方程k2x﹣k2=2kx﹣5k的解是正数?
9、若abc=1,解方程++=1
10、若a,b,c是正数,解方程
11、设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:
x+2[x]+3[x]+4[x]+…+[x]=.
12、已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.
13、解下列方程:
(1)
(2)
(3){}=1
14、解下列关于x的方程:
(1)a2(x﹣2)﹣3a=x+1;
(2)ax+b﹣
(3)
15、a为何值时,方程有无数个解?
无解?
16、当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5﹣kx分别有
(1)正数解;
(2)负数解;(3)不大于1的解.
答案与评分标准
一、解答题(共16小题,满分150分)
1、解方程﹣[x﹣(x﹣)]﹣=x+.
考点:
解一元一次方程。
专题:
计算题。
分析:
先去小括号,再去中括号,然后移项合并、化系数为1可得出答案.
解答:
解:
去小括号得:
﹣[x﹣x+]﹣=x+,
去中括号得:
﹣x+x+﹣=x+,
移项合并得:
,
系数化为1得:
x=﹣.
点评:
本题考查解一元一次方程,解一元一次方程的一般步骤是:
去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.注意移项要变号.
2、已知下面两个方程
3(x+2)=5x,①
4x﹣3(a﹣x)=6x﹣7(a﹣x)②
有相同的解,试求a的值.
考点:
同解方程。
分析:
本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.
解答:
解:
由方程①可求得3x﹣5x=﹣6,所以x=3.
由已知,x=3也是方程②的解,
根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,
应有:
4×3﹣3(a﹣3)=6×3﹣7(a﹣3),
解得:
a=4.
点评:
本题考查同解方程的知识,难度不大,关键是根据①求出方程②的解.
3、已知方程2(x+1)=3(x﹣1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)﹣3(x﹣a)]=3a的解.
考点:
一元一次方程的解。
专题:
方程思想。
分析:
解一元一次方程2(x+1)=3(x﹣1)求得方程的解,即可求得a的值,代入方程2[2(x+3)﹣3(x﹣a)]=3a,然后解方程即可求得方程的解.
解答:
解:
由方程2(x+1)=3(x﹣1)解得x=5.
由题设知a+2=5,
所以a=3.于是有
2[2(x+3)﹣3(x﹣3)]=3×3,
即﹣2x=﹣21,
∴x=10.
点评:
本题主要考查了方程的解的定义,根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题.
4、解关于x的方程(mx﹣n)(m+n)=0.
考点:
解一元一次方程。
专题:
计算题;分类讨论。
分析:
先将方程整理为m(m+n)x=n(m+n),然后分情况讨论,①m+n=0且m≠0,②m+n=0且m=0,③m+n≠0,然后可分别解得x的值.
解答:
解:
分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况.
把原方程化为:
m2x+mnx﹣mn﹣n2=0,
整理得:
m(m+n)x=n(m+n).
①m+n≠0且m≠0时,方程的唯一解为x=;
②当m+n≠0,且m=0时,方程无解;
③当m+n=0时,方程的解为一切实数.
点评:
本题考查解一元一次方程的知识,有一定难度,解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.
5、解方程,(a+x﹣b)(a﹣b﹣x)=(a2﹣x)(b2+x)﹣a2b2.
考点:
解一元一次方程。
分析:
本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.
解答:
解:
将原方程整理化简得
(a﹣b)2﹣x2=a2b2+a2x﹣b2x﹣x2﹣a2b2,
即(a2﹣b2)x=(a﹣b)2.
(1)当a2﹣b2≠0时,即a≠±b时,方程有唯一解;
x=,
x=;
(2)当a2﹣b2=0时,即a=b或a=﹣b时.
若a﹣b≠0,即a≠b,即a=﹣b时,方程无解;
若a﹣b=0,即a=b,方程有无数多个解.
点评:
本题虽表面上有x2项,但实际考查解一元一次方程的解法,有一定的难度,注意分类讨论思想的应用.
6、已知(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x﹣2m)+m的值.
考点:
一元一次方程的定义;代数式求值。
专题:
计算题。
分析:
根据一元一次方程的定义:
只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).列出等式,求出m的值,代入即可.
解答:
解:
∵(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,
∴m2﹣1=0,即m=±1.
(1)当m=1时,方程变为﹣2x+8=0,因此x=4,∴原式=199(1+4)(4﹣2×1)+1=1991;
(2)当m=﹣1时,原方程无解.
所以所求代数式的值为1991.
点评:
本题主要考查了一元一次方程的一般形式,未知数的指数是1,一次项系数不是0,特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件.这是这类题目考查的重点.
7、已知关于x的方程a(2x﹣1)=3x﹣2无解,试求a的值.
考点:
一元一次方程的解。
专题:
计算题。
分析:
先将方程变形为ax=b的形式,再根据一元一次方程无解的情况:
a=0,b≠0,求得方程a(2x﹣1)=3x﹣2中a的值.
解答:
解:
将原方程变形为
2ax﹣a=3x﹣2,
即(2a﹣3)x=a﹣2.
由已知该方程无解,所以
,
解得a=.
故a的值为.
点评:
本题考查了一元一次方程解的情况.一元一次方程的标准形式为ax=b,它的解有三种情况:
①当a≠0,b≠0时,方程有唯一一个解;②当a=0,b≠0时,方程无解;③当a=0,b=0时,方程有无数个解.
8、k为何正数时,方程k2x﹣k2=2kx﹣5k的解是正数?
考点:
一元二次方程的解;一元二次方程的定义。
专题:
方程思想。
分析:
对方程ax=b,当a≠0时,方程有唯一解x=,此解的正负由a,b的取值范围确定:
(1)当ab>0时,方程的解是正数,
(2)当ab<时,方程的解是负数.
解答:
解:
按未知数x整理方程得
(k2﹣2k)x=k2﹣5k.
要使方程的解为正数,需要
(k2﹣2k)(k2﹣5k)>0.
看不等式的左端
(k2﹣2k)(k2﹣5k)=k2(k﹣2)(k﹣5).
因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,
所以k>5或0<k<2即为所求.
点评:
本题考查的是方程的解,根据方程的解的概念,运用不等式的性质,确定k的取值范围.
9、若abc=1,解方程++=1
考点:
解一元一次方程。
分析:
将方程中的1用abc代替,然后化简整理可约去abc+bc+b,进而能得出答案.
解答:
解:
因为abc=1,所以原方程可变形为:
++=1
化简整理为:
+=1,
+=1,
化简整理为:
=1,
=1,
∴x=为原方程的解.
点评:
本题考查解一元一次方程的知识,注意像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.
10、若a,b,c是正数,解方程
考点:
解一元一次方程。
专题:
计算题。
分析:
根据题意,首先将方程式进行化简,去分母、移项、合并同类项,再根据题干所给a、b、c的条件进行推理讨论解决.
解答:
解:
解法1、原方程两边乘以abc,
得到方程:
ab(x﹣a﹣b)+bc(x﹣b﹣c)+ac(x﹣c﹣a)=3abc,
移项、合并同类项得:
ab[x﹣(a+b+c)]+bc[x﹣(a+b+c)]+ac[x﹣(a+b+c)]=0,
因此有:
[x﹣(a+b+c)](ab+bc+ac)=0,
因为a>0,b>0,c>0,
所以ab+bc+ac≠0,
所以x﹣(a+b+c)=0,
即x=a+b+c为原方程的解;
解法2、将原方程右边的3移到左边变为﹣3,
再拆为三个“﹣1”,
并注意到:
,
其余两项做类似处理,
设m=a+b+c,
则原方程变形为:
,
所以:
(x﹣m)()=0,
∵a>0,b>0,c>0,
∴≠0,
∴x﹣m=0,
即:
x﹣(a+b+c)=0,
所以x=a+b+c为原方程的解.
点评:
本题主要考查了解一元一次方程,需要熟悉解一元一次方程的步骤,同时需要注意观察,认真推敲所给条件,巧妙变形,从而产生简单优美解法.
11、设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:
x+2[x]+3[x]+4[x]+…+[x]=.
考点:
取整函数。
专题:
计算题。
分析:
要解此方程,必须先去掉[],根据[x]是整数,2[x],3[x],n[x]都是整数,所以x必是整数,即可求解.
解答:
解:
由于n是自然数,所以n与(n+1)
中必有一个偶数,因此是整数.因为[x]是整数,2[x],3[x],n[x]都是整数,所以x必是整数.
根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为
x+2x+3x+4x+…+nx=
合并同类项得
(1+2+3+…+n)x=
故有
x=
所以x=n(n+1)为原方程的解.
点评:
本题主要考查了取整函数的计算,去掉[],转化为一般的式子是解决本题的关键.
12、已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.
考点:
一元二次方程的整数根与有理根。
专题:
计算题。
分析:
用x表示出a,找到x的最小的自然数解,也就求得了a的值,进而求得最小值.
解答:
解:
由原方程可解得a=x﹣142,
∵a为自然数,
∴x>142,
∴x>157,
∵a最小,∴x应取x=160.∴a=2.
所以满足题设的自然数a的最小值为2.
点评:
考查二元方程的最小系数的自然数值;用一个字母表示出另一个字母是解决本题的突破点.
13、解下列方程:
(1)
(2)
(3){}=1
考点:
解一元一次方程。
专题:
计算题。
分析:
(1)先把分母化为整数,再去分母、去括号、移项即可;
(2)按照去分母、去括号、移项的步骤计算;(3)先去小括号、再去中括号、最后去大括号、移项即可.
解答:
解:
(1)分母化为整数得:
﹣=,
去分母得:
6(4x+9)﹣15(x﹣5)=10(2x+3),
去括号得:
24x+54﹣15x+75=20x+30,
移项得:
11x=99,
同除以11得:
x=9.
(2)去分母得:
1﹣=4,
再去分母得:
3﹣1﹣(1﹣x)=12,
去括号得:
2﹣+x=12,
移项得:
x=10=,
同除以得:
x=21.
(3)去小括号得:
{[﹣﹣6]+4}=1,
再去中括号得:
{+4}=1,
再去大括号得:
,
移项得:
=,
同除以得:
x=5.
点评:
本题考查了解一元一次方程,解一元一次方程的一般步骤是:
去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.注意移项要变号.
14、解下列关于x的方程:
(1)a2(x﹣2)﹣3a=x+1;
(2)ax+b﹣
(3)
考点:
解一元一次方程。
专题:
计算题。
分析:
根据题意,去括号、移项、合并同类项,最后化系数为1,从而得到方程的解;②③需要分析好ab的取值.
解答:
解:
(1)去括号,得:
a2x﹣2a2﹣3a=x+1,
移项,得:
a2x﹣x=2a2+3a+1,
即:
(a2﹣1)x=2a2+3a+1,
当a2﹣1≠0即a≠±1时,
方程有唯一解:
x=,
当a2﹣1=0即a=±1时,
方程无解;
(2)去分母,得:
6ax+6b﹣(6x+4ab)=3,
去括号,得:
6ax+6b﹣6x﹣4ab=3,
移项合并同类项,得:
(6a﹣6)x=4ab﹣6b+3,
当a≠1时,
方程有唯一解:
x=,
当a=1时,方程无解;
(3)去分母,得:
b(x﹣b)=2ab﹣a(x﹣a)
去括号,得:
bx﹣b2=2ab﹣ax+a2,
移项,得:
ax+bx=a2+2ab+b2,
即:
(a+b)x=(a+b)2,
∴当a+b≠0时,
x=a+b,
当a+b=0时,
方程无解.
点评:
本题主要考查了解一元一次方程,解一元一次方程的一般步骤是:
去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1,需要特别注意取值分析.
15、a为何值时,方程有无数个解?
无解?
考点:
解一元一次方程。
专题:
分类讨论。
分析:
原方程可整理为0x=6a﹣12,从而讨论a的值可得出答案.
解答:
解:
由题意得:
0x=6a﹣12,
①当a=2时,方程有无数个解;
②当a≠2时,方程无解.
点评:
本题考查解一元一次方程的知识,关键是整理方程后讨论a的取值.
16、当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5﹣kx分别有
(1)正数解;
(2)负数解;(3)不大于1的解.
考点:
解一元一次不等式组;一元一次方程的解。
专题:
综合题。
分析:
先求出方程的解,把问题转化为求不等式
(1)x>0,
(2)x<0,(3)x≤1的解集问题.
解答:
解:
将原方程变形为(3+k)x=2.
(1)当3+k>0,即k>﹣3时,方程有正数解.
(2)当3+k<0,即k<﹣3时,方程有负数解.
(3)当方程解不大于1时,有≤1(k≠﹣3),
∴1﹣=≥0.
所以1+k,3+k应同号,即
或
解得或
得解为k≥﹣1或k<﹣3.
注意由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的.
点评:
本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目,是常见的考点之一.
参与本试卷答题和审题的老师有:
zhjh;WWF;lanchong;HJJ;bjy;caicl;workholic;mrlin;冯延鹏;bjf。
(排名不分先后)
菁优网
2012年2月13日