北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题(王金燕).doc
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第一讲实数
一.知识梳理：
1.实数的基本概念
（1）正数和负数
定义：
大于0的数叫做正数。
在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
（2）有理数分类：
正整数、0、负整数统称整数。
正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称为有理数。
即：
（3）无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数，归纳起来有四类：
a.开方开不尽的数，如等；
b.有特定结构的数，如0.1010010001…等；
c.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
d.某些三角函数值，如sin60o等
注：
小数是分数。
（4）实数：
有理数和无理数统称为实数，即：
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2.数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）
注意：
实数与数轴的点是一一对应的。
3.相反数：
代数定义：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0Ûa、b互为相反数，反之亦成立.注意：
零的相反数是零
一般地，如果a、b互为相反数，则a+b=0.反之亦成立。
4.绝对值
定义：
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作|a|。
①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。
即：
①a=|a|所表示的意义是：
一个数和它的绝对值相等。
很显然，a≥0。
②任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。
5.倒数
定义：
乘积是1的两个数互为倒数。
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
注意：
0没有倒数。
6.数的比较大小
法则：
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
7.科学记数法
定义：
把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。
8.近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。
精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；
9.有效数字
从左边第一个不为0的数开始，到精确的数位为止，中间所有的数字都叫做有效数字。
二.课后练习
1.若收入100元记作+100元，那么支出60元记作_______元。
2.3的相反数是，-5的倒数是，-3的绝对值是。
3.计算：
-（-2）=，|-5|=。
4.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则
=。
5.小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在已经画好的数轴上。
如图所示，请根据图中标出的数，写出被墨水盖住的整数：
。
6.若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b=。
7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km，则这个数用科学记数法表示应为。
8.2.396≈（精确到百分位）2.396≈_____（精确到十分位）
9.在记录气温时，若零上5度记作+5℃，那么零下5度记作（）
A、5℃B、-5℃C、0℃D、-10℃
10.数轴上表示-3的点到原点的距离是（）
A、3B、-3C、D、
11.在0，-2，1，这四个数中，最小的数是（）
A、0B、-2C、1D、
12.如果a的倒数是-1，那么a2014等于（）
A、-1B、1C、2014D、-2014
13.3的相反数是（ ）
A.3B.－3C.D.－
14.－3的绝对值是（ ）
A.3B.－3C.－D.
15.－7的倒数是（ ）
A.7B.C.－7D.－
16.sin60°的相反数是（ ）
A.－B.－C.－D.－
17.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A.a＋b<0B.ab>0C.a－b<0D.|a|>|b|
18.若a与1互为相反数，则|a＋1|等于（ ）
A.－1B.0C.1D.2
19.在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A.－2B.0C.D.1
20.地球上的陆地面积约为149000000平方公里，那么用科学记数法表示149000000应为（）
A、1.49×106B、1.49×107
C、1.49×108D、1.49×109
21.甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，这个数用科学记数法表示应该是（）
A、1.3×10-6B、1.3×10-7
C、1.3×10-8D、1.3×10-9
22.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法可表示为（ ）
A.0.675×105B.6.75×104
C.67.5×103D.675×102
23.近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。
霾的主要成分是PM2.5，是指直径小于或等于0.0000025m的颗粒物。
那么数0.0000025用科学记数法可表示为（）
A、25×10-5B、25×10-6
C、2.5×10-5D、2.5×10-6
24.钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为440万m2，数据440万用科学记数法表示为（ ）
A.4.4×106 B.44×105
C.4×106D.0.44×107
25.把2.3649精确到0.01是（）
A.2.3B.2.37C.2.36D.2.35
26.0.002035的有效数字有（）
A.5个B.5的C.4个D.3个
28.数21.300精确到（）
A.0.1B.0.01C.0.001D.无法确定
29.把数3576.635精确到百位是（）
A.3576B.3576.64C.3577D.3600
30.下列实数中，是无理数的为（ ）
A.3.14B.C.D.
第二讲实数的运算
一.知识梳理：
1.实数的加法
（1）加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数。
（2）加法运算律：
①交换律a+b=b+a；②结合律（a+b）+c=a+（b+c）。
2.实数的减法
减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。
即：
a-b=a+（-b）。
3.实数的乘法
（1）乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
②任何数与0相乘，都得0。
（2）乘法运算律：
①交换律ab=ba；②结合律（ab）c=a（bc）；③分配律a（b+c）=ab+ac。
4.实数的除法
除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
即：
。
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
③0除以任何一个不等于0的数，都得0。
5.乘方
（1）定义：
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
如：
叫做a的乘方，记作an。
读作a的n次方（幂），
在an中，a叫做底数，n叫做指数。
乘方的结果叫做幂。
（2）性质：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
6.0指数幂和负正指数幂
（1）0指数幂：
一个不为0的数的0次幂都等于1，即：
（2）负正指数幂：
一个不为0的数的负整指次幂等于这个数的倒数的正整指次幂。
即：
7.实数的混合运算
混合运算的顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二.精讲点拨：
例1.计算：
例2.计算：
（－2）0＋（）－1＋4cos30°－|1-|.
三.课后作业：
1.某天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，那么中午的气温是℃。
2.日喀则某天的最高气温是10℃，最低气温是-8℃，那么这天日喀则的最高气温比最低气温高（）
A、-18℃B、-2℃C、2℃D、18℃
3.计算：
（）－2－|－1＋|＋2sin60°＋（－1－）0.
4.计算：
（π－）0＋－（－1）2015－tan60°.
5.计算：
（－2）3＋×（2014＋π）0－|－|＋tan260°.
6.计算：
＋（）－1－2cos45°－（π－2016）0.
7.计算：
－（π－1）0＋tan60°＋|－2|.
第三讲平方根和立方根
一.知识梳理：
1.平方根
定义1：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：
正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
a叫做被开方数。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
记作，读作“根号a”，
性质1：
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质2：
算术平方根的双重非负性：
①0；②
定义3：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根
定义1：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。
即。
性质1：
正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
性质2：
，三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方
3.实数大小的比较
（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法
①作差法：
设a、b是实数，
.
②作商法：
设a、b是两正实数，
③平方法：
设a、b是两负实数，则
④近似值法：
记住这些数值：
二.课后作业
1.9的算术平方根是；4的平方根是。
2.-8的立方根是；立方根是它本身的数是______
3.的算术平方根是_____，的立方根是
5.比较大小：
-3.14；。
6.已知，则xyz的立方根是________
7.的相反数是，绝对值是，倒数是。
8.若代数式有意义，则x的取值范围是____________．
9.已知x、y为实数，且y＝－＋4，则x－y＝________．
10.的算术平方根是（）
A.4B.±4C.2D.±2
11.在数，，，，，中，无理数有（）个。
A.3B.4C.5D.6
12.如图，数轴上点P表示的数可能是（）
A.B.-
C.-3.2D.-
13.估计的值（）
A、在3到4之间B、在4到5之间
C、在5到6之间D、在6到7之间
14.64的立方根是（ ）
A.4B.±4C.8D.±8
15.（－3）2的平方根是（ ）
A.3B.－3C.±3D.9
16.化简：
＝（ ）
A.3B.－3C.－2D.2
17.下列说法不正确的是（）
A.0的相反数、绝对值都是0
B.立方等于它本身的数有3个
C.平方等于它本身的数有2个
D.倒数等于它本身的数有1个
18.在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x<1B.x>1C.x≤1D.x≥1
第四讲二次根式
1.二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
①（a≥0）；
②
3.二次根式的乘除法
（1）二次根式的乘法：
①（a≥0，b≥0）；
②（a≥0，b≥0）。
（2）二次根式的除法：
①（a≥0，b＞0）；
②（a≥0，b＞0）。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：
①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②根号内不含分母；③分母中不含根号。
5.同类二次根式：
几根二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式
6.二次根式的加减法
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7.分母有理化
把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。
二.课后作业
1.二次根式在实数范围内有意义的条件是。
2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是。
3.计算：
=；=；
4.计算：
－＝=。
=。
5.已知a＝1＋，b＝1－，则代数式a·b的值为________．
6.列计算错误的是（ ）
A.·＝B.＋＝
C.÷＝2D.＝2
7.下面计算正确的是（）
A.3＋=3B.
C.2=D.=±2
8.a＝－，则a在两个相邻整数之间，这两个整数是（ ）
A.4和5B.3和4C.2和3D.1和2
9.下列二次根式中，最简二次根式是（）
A.B.C、D、
10.下列二次根式中与是最简二次根式的是（ ）
A.B.C.D.
13.计算：
14.计算：
2－1－tan60°－－（π－1）0＋|2－|.
15.计算：
16.求代数式x2+4xy+y2的值，其中，。
第五讲幂的运算
一.知识梳理
（一）代数式
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
2.代数式的书写格式：
（二）整式：
单项式和多项式统称为整式。
①单项式：
只含有乘法运算的代数式叫做单项式。
单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；
数字因数叫做这个单项式的系数。
单独的一个数或一个字母也是单项式；
②多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；
次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
（三）.同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：
①同类项有两个条件：
a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；③几个常数项也是同类项。
（四）合并同类项法则：
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
（五）幂的运算
①同底数幂的乘法：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：
am·an=am+n。
②幂的乘方：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：
（am）n=amn。
③积的乘方：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：
（ab）n=anbn。
④同底数幂的除法：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即：
am÷an=am-n。
二.课后作业
1.计算：
（-2a2b3c）3=。
2.若单项式与是同类项，则
=。
3.计算：
（-a3）2÷a3=。
4.用☆定义一种新运算：
对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1，则5☆3=。
5.某人设计了一个计算程序，当输入任意实数对（a，b）时，会得到一个新的实数：
a2+b+1。
如输入（3，-2）时，会得到32+（-2）+1=8。
现输入（-3,4），得到的数是。
6.科学发现：
植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
······。
仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是。
7.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
第1个第2个
······
第3个
第n个图案中白色地面砖有块。
8.观察下列一组图形的规律：
△△☆▲□△△☆▲□△△☆▲□△△······
猜一猜第2014个图形应该是（）
A.△B.☆C.▲D.□
9.下列计算正确的是（）
A.x2+x2=x4B.x3·x3=x9C.x3·x5=x8D.（x2）4=x6
10.下列计算正确的是（）
A.a2·a3=a6B.y3÷y3=yC.3m+3n=3mnD.（x3）2=x6
11.下列运算正确的是（）
A.a3·a2=aB.（a3）4=a7C.2a3+5a3=7a6D.、a4÷a3=a
12.下列运算正确的是（）
A.x3+x3=x6B.x2·x4=x8C.x12÷x2=x6D.x2·x4=x6
13.计算（a3）2的结果是（ ）
A.a5B.a6C.a8D.a9
14.下列运算中，结果正确的是（ ）
A.x3·x3＝x6B.3x2＋2x2＝5x4
C.（x2）3＝x5D.（x＋y）2＝x2＋y2
15.一组按规律排列的多项式：
a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，……，其中第10个式子是（）
A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21
16.下列运算正确的是（ ）
A.a·a2＝a2B.（ab）3＝ab3C.（a2）3＝a6D.a10÷a2＝a5
17.下列运算正确的是（ ）
A.x2＋x2＝x4B.（a－b）2＝a2－b2
C.（－a2）3＝－a6D.3a2·2a3＝6a6
第六讲整式的运算
一.知识梳理
1.去括号法则：
①括号前面是正号，去掉括号后括号内的各项不变号；
②括号前面是负号，去掉括号后括号内的各项要变号。
2.整式的加减：
几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
3.整式的乘除运算
①单项式与单项式的乘法：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式与多项式的乘法：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：
p（a+b+c）=pa+pb+pc。
③多项式与多项式的乘法：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：
（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq。
④平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2。
即：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
⑤完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
即：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。
这两个公式叫做完全平方公式。
⑥完全平方式
我们把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式
⑦单项式与单项式的除法：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑧多项式除以单项式：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：
以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
3.因式分解
定义：
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解的常用方法：
①提公因式法：
pa+pb+pc=p（a+b+c）；
②公式法：
平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；
完全平方公式：
a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2。
二.课后作业
1.分解因式：
x2-9=；x2+6x+9=；
2.分解因式：
2x3+8x2+8x=；a3b-ab3=。
3.分解因式：
ax2－ay2＝_______；a3－a＝____
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