第12章整式的乘除知识点总结.doc

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第12章整式的乘除

§12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：

am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

文字：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

2·3·4=2+3+4=9；

（-2）2·（-2）3=（-2）2+3=（-2）5=-25；

（）3·（）4=（）3+4=（）7；

（a+b）3·（a+b）4·（a+b）=（a+b）3+4+1=（a+b）8

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则:

（am）n=amn（m、n均为正整数）。

推广：

｛[（am）n]p｝s=amnps

文字：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（2）3=2×3=6；

[（）3]4=（）3×4=（）12；

[（a-b）2]4=（a-b）2×4=（a-b）8

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：

amn=（am）n，

如：

a15=（a3）5=（a5）3

三、积的乘方

1、法则：

（ab）n=anbn（n为正整数）。

推广：

（acde）n=ancndnen

文字：

积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（2）3=222=42；

（×）2=（）2×（）2=2×3=6；

（-2abc）3=（-2）3a3b3c3=-8a3b3c3；

[（a+b）（a-b）]2=（a+b）2（a-b）2

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：

anbn=（ab）n；

如：

23×33=（2×3）3=63，

（x+y）2（x-y）2=[（x+y）（x-y）]2

四、同底数幂的除法

1、法则：

am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）

文字：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

4÷3=4-3=；

（-2）5÷（-2）3=（-2）5-3=（-2）2=4；

（）6÷（）4=（）6-4=（）2=2；

（a+b）16÷（a+b）14=（a+b）16-14=（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：

am-n=am÷an；

如：

ax-y=ax÷ay，

（x+y）2a-3=（x+y）2a÷（x+y）3

§12.2整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：

单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

如：

（-5a2b2）·（-4b2c）·（-ab）

=[（-5）×（-4）×（-）]·（a2·a）·（b2·b2）·c

=-30a3b4c

二、单项式与多项式相乘

法则：

（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：

=（-3x2）·（-x2）+（-3x2）·2x一（-3x2）·1

=

三、多项式与多项式相乘

法则：

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb

（2）把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：

（m+n）（a+b）

=（m+n）a+（m+n）b

=ma+na+mb+nb

§12.3乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2；名称：

平方差公式。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（10+9）（10-9）=102-92=100-81=19；

（2xy+a）（2xy-a）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（a+b+）（a+b-）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式

1、公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2；名称：

完全平方公式。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（+3）2

=（）2+2××3+32

=2+6+9

=11+6；

（mn-a）2=（mn）2-2mn·a+a2=m2n2-2mna+a2；

（a+b-）2

=（a+b）2-2（a+b）+2

=a2+2ab+b2-2a-b+2；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：

（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca

特别提醒：

利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：

“一看二套三计算”。

§12.4整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：

单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：

-21a2b3c÷3ab

=（-21÷3）·a2-1·b3-1·c

=-7ab2c

（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3

=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3

=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2

5（2a+b）4÷（2a+b）2

=（5÷1）（2a+b）4-2

=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）

=20a2+20ab+5b2

二、多项式除以单项式

法则：

（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：

（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）

=21x4y3÷（-7x2y）-35x3y2÷（-7x2y）+7x2y2÷（-7x2y）

=-3x2y2+5xy-y

[4y（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）

=4y（2x-y）÷（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）

=4y-2x

◇整式的运算顺序：

先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§12.5因式分解

一、因式分解的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：

把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：

多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：

（1）“看”。

观察各项是否有公因式；

（2）“隔”。

把每项的公因式“隔离”出来；

（3）“提”。

按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）；

（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（n为正整数）；

如：

8a2b-4ab+2a

=2a·4ab-2a·2b+2a·1

=2a（4ab-2b+1）；-5a2+25a

=-5a·a+5a·5

=-5a（a+5）

（注意：

凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。

）

三、公式法：

利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；名称：

平方差公式。

△注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

102-92=（10+9）（10-9）=19×1=19；

4x2y2-a2=（2xy）2-a2=（2xy+a）（2xy-a）；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2；名称：

完全平方公式。

△注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

m2n2-2mna+a2=（mn）2-2mn·a+a2=（mn-a）2；

x2+4xy+y2

=x2+2·x·2y+（2y）2

=（x+2y）2

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

四、补充分解法：

1、公式：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）。

如：

x2+5x+6

=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）；

x2+5x-6

=x2+[6+（-1））]x+6×（-1）=

（x+6）（x-1）

2、“十字相乘法”

如：

=（x+2）（x+7）=（x+2）（x-4）

1212

171-4

2+7=92+（-4）=-2

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：

“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：

（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；

（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；

（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：

（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；

（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；

（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；

（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。