二次函数压轴(矩形).doc
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二次函数压轴之矩形问题
1．（2015宜宾）如图，抛物线y=–x2+bx+c与x轴分别相交于点A（–2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？
若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。
2．（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：
y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？
若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
x
y
O
A
B
D
l
C
备用图
x
y
O
A
B
D
l
C
E
3.（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？
若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：
（1）根据题意，设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）2+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：
a=﹣1，k=4，
∴抛物线的解析式为：
y=﹣（x+1）2+4．
（2）①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，整理得：
t2+5t﹣3=0，
解得t=，由于t=＜0，故舍去，
∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，∴t=；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：
OD2+ND2=ON2，
即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，OD=1﹣x=，∴t=；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：
ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=1﹣x=1﹣，∴t=1﹣．综上所述，当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．
4.（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：
以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？
若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：
设抛物线的解析式为：
y=a（x+）2+k，
∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，∴，解得：
a=1，k=．∴抛物线的解析式为：
y=（x+）2=x2+x﹣3．
（2）证明：
如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形，∴PM=ON，PN=OM．∵PC=MP，OE=ON，∴PC=OE；
∵MD=OM，NF=NP，∴MD=NF，∴PF=OD．在△PCF与△OED中，
∴△PCF≌△OED（SAS），∴CF=DE．
同理可证：
△CDM≌△FEN，∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF是平行四边形．
（3）解：
假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴，即，化简得：
m2=n2，∴m=n，即矩形PMON为正方形．
∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．
联立，解得，，∴P1（，），P2（﹣，﹣）；联立，解得，，∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：
P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．
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