二次函数动点问题(提高篇).doc

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数学压轴题二次函数动点问题

1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（－3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，）．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数值y相等，连结AC、BC．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意得

解得a＝－，b＝－，c＝．

（2）由

（1）知y＝－x2－x＋，令y＝0，得－x2－x＋＝0．

解得x1＝－3，x2＝1．

∵A（－3，0），∴B（1，0）．又∵C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC＝，

∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．

同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．

∴△ABC是直角三角形．

又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．

∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．

∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝．

由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．

∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝．

如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．

MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．

∴点P的坐标为（－1，）．

（3）存在．

由

（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形．

∵二次函数y＝－x2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上．

∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．

又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．

∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．

①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．

∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．

∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．

∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似．

②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°．

∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．

∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．

∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．

∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．

∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．

设对称轴与x轴的交点为D．

∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．

∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为（－1，－）．

综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q（－1，－），使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

2.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

解：

（1）由题意得．解得．

∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；

（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（－1，）或P（－1，）

或P（－1，6）或P（－1，）；

（3）解法一：

过点E作EF⊥x轴于点F，设E（m，－m2－2m＋3）（－3＜a＜0）

则EF＝－m2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．

∴S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋（EF＋OC）·OF

＝（m＋3）（－m2－2m＋3）＋（－m2－2m＋6）（－m）．

＝－m2－m＋＝－（m＋）2＋

∴当m＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．

此时y＝－（－）2－2×（－）＋3＝∴此时E点的坐标为（－，）．

解法二：

过点E作EF⊥x轴于点F，设E（x，y）（－3＜x＜0）

则S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE＝BF·EF＋（EF＋OC）·OF

＝（3＋x）·y＋（3＋y）（－x）．＝（y－x）＝（－x2－3x＋3）．

＝－（x＋）2＋

∴当x＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．

此时y＝－（－）2－2×（－）＋3＝∴此时E点的坐标为（－，）．

3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？

若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵OA、OC的长是方程x2－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．

∴OA＝1，OC＝4．

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴∴A（－1，0），C（0，－4）．

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．

∴A、B、C三点的坐标分别是：

A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．

（2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax2＋bx＋c图象上，∴c＝－4． 4分

将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax2＋bx－4得

解得

∴此抛物线的解析式为y＝x2－x－4．

（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．

在Rt△BOC中，BC2＝OB2＋OC2＝32＋42＝25，∴BC＝5．

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝，即＝．∴DE＝．

过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝．

∴＝，∴EF＝DE＝×＝4－m．

∴S＝S△CDE＝S△ADC－S△ADE＝（4－m）×4－（4－m）（4－m）＝－m2＋2m

＝－（m－2）2＋2（0＜m＜4）．

∵－＜0∴当m＝2时，S有最大值2．

此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．∴此时D点坐标为（1，0）．

4.如图，抛物线y＝a（x＋3）（x－1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（－2，6）．

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？

如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意得6＝a（－2＋3）（－2－1），∴a＝－2．

∴抛物线的解析式为y＝－2（x＋3）（x－1），即y＝－2x2－4x＋6

令－2（x＋3）（x－1）＝0，得x1＝－3，x2＝1

∵点A在点B右侧，∴A（1，0），B（－3，0）

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A（1，0）、C（－2，6）代入，

得解得

∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2．

（2）①设P点的横坐标为m（－2≤m≤1），

则P（m，－2m＋2），M（m，－2m2－4m＋6）．

∴PM＝－2m2－4m＋6－（－2m＋2）＝－2m2－2m＋4＝－2（m＋）2＋

∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为．

②存在.M1（0，6）,．M2（－，）．

ⅰ）如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△ANP

∵点C（－2，6），∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x2－4x＋6

得－2x2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0∴M1（0，6）

（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）

ⅱ）如图2，当C为直角顶点时，设M（m，－2m2－4m＋6）（－2≤m≤1）

过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D

则△CMP∽△NAP

又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD∴＝

∵C（－2，6），∴CH＝m＋2，MH＝－2m2－4m＋6－6＝－2m2－4m

在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2

∴D（0，2），∴OD＝2∴＝

整理得4m2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－

当m＝－时，－2m2－4m＋6＝（－）2－4×（－）＋6＝∴M2（－，）

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