二次函数与特殊的三角形(含答案).docx
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二次函数与特殊的三角形
第一组等腰三角形
（2016山东临沂，26，13分）（5）
如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2016新疆建设兵团，23，13分）如图，抛物线的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线与y轴交于点D．（12）
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？
若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
（2016重庆A，26，12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B．C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△的位置，点A．C的对应点分别为点，，且点恰好落在AC上，连接，.△是否能为等腰三角形？
若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由.
第二组直角三角形
10.（2016山东省枣庄市，25，10分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B．
⑴若直接y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与点C的距离之和最小，求点M的坐标；
⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
x
y
O
C
A
B
答案：
1、
（1）解：
令y=0，则－2x+10=0，x=5，∴A（5，0）．
把x=0代入y=－2x+10，得y=10，∴B（0，10）．
设过O，A，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2－x．……………………………………………3分
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵B（0，10），A（5，0），
∴OA=5，OB=10，∴AB2=125，AB=．
∵C（8，4），A（5，0），∴AC2=25，AC=5．
∵B（0，10），C（8，4），∴BC2=100，BC=10．
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．…………………………………5分
（2）∵PA=QA，
又∵PA2=（2t）2+52，QA2=（10－t）2+52，
∴（2t）2+52=（10－t）2+52，
解得t=．
故当运动时间为秒时，PA=QA．…………………………………8分
（3）存在．
抛物线y=x2－x过O，A两点，则对称轴是x=，设M的坐标为（，m），
①当AM=BM时，M是AB的垂直平分线与抛物线的交点，
设抛物线的对称轴与x轴交于点P，与AB交于点Q，
由题意可知PQ∥y轴，P是OA的中点，
∴Q是AB的中点，
∴AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形．
②当AB=BM时，（）2+（10－m）2=AB2=125，解得m1=，m2=，
∴M1（，），M2（，）．…………………………………10分
③当AB=AM时，（5－）2+m2=AB2=125，解得m3=，m4=－，
∴M3（，），M4（，－）．
综上所述，存在点M，共有4个点，分别是M1（，），M2（，），M3（，），M4（，－）．…………………………………12分
解：
（1）由抛物线，令x=0，得y=－3
∴C（0，－3），
∴OC=3
∵BO=OC=3AO，
∴OB=3，AO=1．
∴A（－1，0），B（3，0）
代入，得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）P1（1，－1），P2（1，），P3（1，），P4（1，），P5（1，）
设点P的坐标为（1，m）
分三种情况讨论：
①若PC=PB，则PC2=PB2
即
解得：
m=－1，
∴P1（1，－1）．
②若PC=BC，则PC2=BC2
即
解得：
，
∴P2（1，），P3（1，）
③若PB=BC，则PB2=BC2
即
解得：
，
∴P4（1，），P5（1，）
综上所述，可知满足条件的点P的坐标共有5个，分别是P1（1，－1），P2（1，），P3（1，），P4（1，），P5（1，）
3、
（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
当y=0时，即，解这个方程，得.
∴点A（，0），B（，0）.
∴OA=，OB=3.
当x=0时，y=3，∴点C（0，3），∴OC=3.
在Rt△AOC中，.
在Rt△BOC中，.
又∵，12+36=48，∴.
∴△ABC为直角三角形.
（2）如图1，∵点B（，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为.
过点P作PG//y轴交直线BC于点G.
设点P（a，），则点G（a，），
∴PG=（）－（）=.
设点D的横坐标为，点C的横坐标为.
.
∵，∴当时，△PCD的面积最大，此时点P（，）.
如图1，将点P向左平移个单位至点P′，连接AP′交y轴于点N，过点N作NM⊥抛物线对称轴于点M，连接PM.点Q沿PMNA运动，所走的路程最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长.
∵点P（，），∴点P′（，）.
又∵点A（－，0），∴直线AP′的解析式为.
当x=0时，y=，∴点N（0，）.
过点P′作P′H⊥x轴于点H，则有HA=，P′H=，AP′=.
∴点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=.
（3）如图2，在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=，∴∠OAC=60°.
∵OA=，∴△为等边三角形，∠=60°，∴∠=30°.
又由，得点.
∵点A（－，0），E（，4），∴AE=.
∴.
∵直线AE的解析式为，
设点E′（a，），则点A′（，）.
∴.
若，则有，即.
解这个方程，得，∴点E′（，5）.
若，则有，即，
解这个方程，得，.
∴点E′（，）或（，）.
若，则有，即，
解这个方程，得，.
∴点E′（，）.
综上所述，符合条件的点E′的坐标为（，5）或（，）或（，）或（，）.
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