合同线性代数工作范文Word格式.docx
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A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结
一、行列式定义
行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：
比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？
行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的（共有n!
项）。
（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！
）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
二、行列式性质
行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。
这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！
5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：
某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。
这7条性质往往组合使用来求行列式的值。
尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。
三、行列式行（列）展开法则
行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。
行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。
（即我一直强调的：
要配套。
）
如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。
（即：
不配套。
）矩阵小结
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。
初等变换有三类：
1、位置变换：
矩阵的两行（列）位置交换；
2、数乘变换：
数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3、消元变换：
矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
初等矩阵：
由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1、交换阵E（i,j）：
单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2、数乘阵E（i（k））：
数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3、消元阵E（ij（k））：
单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。
首先：
初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。
最关键的问题是：
初等矩阵能用来做什么？
当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。
具体来说：
左乘的情况：
1、E（i,j）A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；
2、E（i（k））A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；
3、E（ij（k））A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。
结论1：
用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。
右乘的情况：
4、AE（i,j）=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；
5、AE（i（k））=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；
6、AE（ij（k））=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。
结论2：
用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。
初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。
若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。
或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。
篇二：
线性代数关于等价、相似、合同的对比
定义如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；
对称性若A与B等价，则B与A等价
传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：
（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×
m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B原理：
AX＝B时
（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×
n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。
解：
由方程XA＝B
XAA＝BA解为x=BA
-1
要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x=BA
T
TT
而不可以写成x=AB。
因为X满足XA＝BX满足AX＝B从而有X=（A）B=（BA）
所以，可以先用上述方法求解AX＝B，再把所得结果X转置即得所需的X＝BA。
定义（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。
向量组之间的等价关系有下列基本性质：
设A,B,C为三个同维向量组，则有
定义设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=pAP。
则称A和B是相似的，记为A～B。
当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=PAP时，我们就说A经过相似变换变成了B。
同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：
（1）反身性A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。
事实上，有矩阵等式
（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。
事实上，有
（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。
事实上，由B=PAP，C=QBQ即可推出C=QPAPQ=（PQ）A（PQ）
定理相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。
需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。
-1-1
定理阶方阵A与对角阵PAP=特征向量。
相似的充分必要条件是A有n个线性无关的
两个重要结论：
（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；
（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；
（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似.
定义如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。
定义若
是R中的一个正交向量组，且其中每个向量都是
n
单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。
（正交单位向量组）定理正交向量组必线性无关。
必有向量组
正交，且
是标准正交组。
（正交单位向量组）
则称A为正交矩阵。
则称A与B正交相似。
定义如果n阶实方阵A满足
定义设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得
定理（对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩
阵P，使得
对角矩阵中的n个对角元就是A
的n个特征值。
反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。
定理两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得
。
则称A与B合同。
由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交。
则
,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。
合同关系也有
反身性：
即任给方阵A，有
所以，A与A合同；
对称性：
若A与B合同，则存在可逆阵P使
得
所以B与A也合同。
传递性:
因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P，Q，使得
A与C合同。
定理实对角矩阵定理设n阶矩阵
为正定矩阵当且仅当
中的所有对角元全大于零。
注意PQ一定可逆，所以
是正定矩阵，则A中所有对角元
定理设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。
定理同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。
定理n阶对称矩阵定理n阶对称矩阵推论
（1）n阶对称矩阵
（2）n阶对称矩阵
是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵
的n个特征值全大于零的n个顺序主子式的正惯性指数为n.
合同于单位矩阵。
（3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.
篇三：
线性代数的学习方法
线性代数的学习方法
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与B＝（β1，β2…，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，可知矩阵A＝（α1，α2，…αm）与B＝（β1，β2，…βm）等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？
再问做得好不好？
只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：
设A是m×
n矩阵，B是n×
s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有
r（B）≤n-r（A）即r（A）＋r（B）≤n
进而可求矩阵A或B中的一些参数
再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组（λiE-A）x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r（λiE-A）＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r（λiE-A）＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r（λiE-A）＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。
又比如，对于n阶行列式我们知道：
若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解（可能有无穷多解，也可能无
解），而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；
可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；
对于n个n维向量α1，α2，…αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2…αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；
矩阵A的秩r（A）是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r（A）＜r，则A中r阶子式全为0；
求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；
判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。
凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。
大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
线性代数中常见的证明题型有：
证｜A｜＝0；
证向量组α1，α2，…αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2…，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；
证秩的等式或不等式；
证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；
证齐次方程组是否有非零解；
线性方程组是否有解（亦即β能否由α1，α2…，αs线性表出）；
对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；
证二次型的正定性，规范形等
篇四：
线性代数
20XX年考研数学线性代数知识点梳理
从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，20XX年的考研学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点在考前再给大家梳理一遍。
一、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;
主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;
后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。
复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。
线性方程组（一般式）
还具有两种形式：
（1）矩阵形式，
（2）向量形式。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;
印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：
①有唯一零解;
②有非零解。
当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;
但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的
定义也正是由这个等式出发的。
故向量与线性方程组在此又产生了联系：
齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。
可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。
秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。
经过“秩→线性相关无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。
充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;
充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。
四、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵C使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1.二次型及其矩阵表示。
2.用正交变换化二次型为标准型。
3.正负定二次型的判断与证明。
附：
第一章行列式
1、行列式的定义
2、行列式的性质
3、特殊行列式的值
4、行列式展开定理
5、抽象行列式的计算
第二章矩阵
1、矩阵的定义及线性运算
2、乘法
3、矩阵方幂
4、转置
5、逆矩阵的概念和性质
6、伴随矩阵
7、分块矩阵及其运算
8、矩阵的初等变换与初等矩阵
9、矩阵的等价
10、矩阵的秩
第三章向量
1、向量的概念及其运算
2、向量的线性组合与线性表出
3、等价向量组
4、向量组的线性相关与线性无关
5、极大线性无关组与向量组的秩
6、内积与施密特正交化
7、n维向量空间（数学一）
第四章线性方程组
1、线性方程组的克莱姆法则
2、齐次线性方程组有非零解的判定条件
3、非齐次线性方程组有解的判定条件
4、线性方程组解的结构
第五章矩阵的特征值和特征向量
1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
2、相似矩阵的概念及性质
3、矩阵的相似对角化
4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
第六章二次型
1、二次型及其矩阵表示
2、合同变换与合同矩阵
3、二次型的秩
4、二次型的标准型和规范型
5、惯性定理
6、用正交变换和配方法化二次型为标准型
7、正定二次型及其判定
20XX考研数学考前必须死磕的知识点
第一章函数、极限与连续
1、函数的有界性
2、极限的定义（数列、函数）
3、极限的性质（有界性、保号性）
4、极限的计算（重点）（四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理）
5、函数的连续性
6、间断点的类型
7、渐近线的计算
第二章导数与微分
1、导数与微分的定义（函数可导性、用定义求导数）
2、导数的计算（“三个法则一个表”：
四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;
“三种类型”：
幂指型、隐函数、参数方程;
高阶导数）
3、导数的应用（切线与法线、单调性（重点）与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率（数一、二））
第三章中值定理
1、闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点存在定理）
2、三大微分中值定理（重点）（罗尔、拉格朗日、柯西）
3、积分中值定理
4、泰勒中值定理
5、费马引理
篇五：
遥遥领先的中国考研第一品牌——海文考研——数学讲义
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