二次函数中等腰三角形的存在性.doc

二次函数中等腰三角形的存在性.doc

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知识回顾：

1、二次函数的三种形式：

2、已知一边，求等腰三角形周长的方法：

3、等腰三角形的特点：

例题分析：

例1、如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求抛物线的解析式；

A

C

B

y

x

0

1

1

（3）探究：

若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

例2、已知：

如图，抛物线经过、、三点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；

（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形，并写出点的坐标；

x

y

C

B

A

E

–1

1

O

（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？

若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．

例3、已知：

Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？

若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

图2

图1

图3

例4、如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠为直角,且恰使△∽△.

（1）求线段的长.：

（2）求该抛物线的函数关系式．：

（3）在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？

若存在，

求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

例5、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：

抛物线经过点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

B

A

C

x

y

（0，2）

（－1，0）

课堂练习：

1、如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?

（不必求点P的坐标，只需说明理由）

思考题：

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值.