初一升初二暑假数学教材.doc
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起飞教育初二数学（培优）
第1讲平方根
月日姓名：
【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】
1、算术平方根：
如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算
术平方根，记作“”，读作“根号”。
注意：
（1）规定0的算术平方根为0，即；
（2）负数没有算术平方根，也就是有意义时，一定表示一个非负数；
（3）（）。
2、平方根：
如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根
（也叫二次方根）。
注意：
（1）一个正数必须有两个平方根，一个是的算术平方根“”，另外一个是“-”,读作“负根号”，它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，是它本身；
（3）负数没有平方根。
3、开平方：
求一个数的平方根的运算。
其中叫做被开方数。
观察二者的特征，注意他们的区别与联系。
【典型例题】
例1、求下列各数的算术平方根与平方根
（1）
（2）100（3）1
（4）0（5）（6）7
例2、计算
（1）
（2）（3）-
例3、计算
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
例4、当有意义时，a的取值范围是多少？
【经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根
（1）16
（2）（3）12
（4）0.01（5）
2、计算
（1）
（2）
（3）（4）
3、判断
（1）－52的平方根为－5（）
（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）
（3）0和负数没有平方根（）
（4）4是2的算术平方根（）
（5）的平方根是±3（）
（6）因为的平方根是±,所以=±（）
4、有意义，则的范围___________
5、如果a（a＞0）的平方根是±m，那么（）
A.a2=±m B.a=±m2 C.=±m D.±=±m
【课后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是（）
A.－（－2）3 B.3－3 C.a0 D.－（a2+1）
2、等于（）
A.a B.－a C.±a D.以上答案都不对
3、若正方形的边长是a,面积为S，那么（）
A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根
C.a=± D.S=
4、当___________时，是二次根式．
5、要使有意义，则的范围为___________
6、计算
（1）-
（2）
记一记
第6讲立方根
月日姓名：
【学习目标】
1.掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。
3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4.会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。
【知识要点】
1、立方根的概念：
如果一个数x的立方等于a，即=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或叫做三次方根）。
2、立方与立方根的关系：
若有x3=a成立，则a是x的立方，x就是a的立方根。
注：
任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。
3、开立方的概念：
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。
注：
，
4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数
注：
正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。
【典型例题】
例1、
（1）由于的-27，则是的立方根。
（2）若=成立，则是的立方；是的立方根。
例2、
（1）2的立方等于多少？
是否有其他的数，他的立方等于8？
（2）－3的立方等于多少？
是否有其他的数，它的立方也是－27？
例3、求下列各数的立方根
（1）512
（2）（3）0（4）
例4、比较三个数的大小:
0,
例5、若=0，则的立方根是多少？
★例6、已知x=是m+n+3的算术平方根，y=是m+2n的立方根，求y-x的立方根.
【经典练习】姓名：
成绩：
一、填空题：
1、若=0.125，则是的立方根．
2、64的立方根是________．
3、的立方根是________
二、判断并加以说明．
1、的立方根是；（ ）
2、没有立方根；（ ）
3、的立方根是；（ ）
4、是的立方根；（ ）
5、负数没有平方根和立方根；（ ）
6、a的三次方根是负数，a必是负数；（ ）
7、立方根等于它本身的数只能是0或1；（ ）
8、如果x的立方根是，那么；（ ）
9．的立方根是；（ ）
10、的立方根是没有意义；（ ）
11、的立方根是；（ ）
三、选择题：
1、8的立方根是（）
A、2B、-2C、4D、+2
2、的立方根是（）．
A、16B、C、4D、8
3、计算的结果是（）.
A.3B.7C.-3D.-7
4．下列叙述正确的是（）．
A．是7的一个立方根B．的立方是11
C．如果x有算术平方根，则x＞0D．如果x有平方根，它一定有立方根
四、计算题
1、已知=0，求的立方根。
★2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.
【课后作业】姓名成绩家长签名
一、判断题：
1、的立方根是+（）
2、负数没有立方根（）
3、-是-7的立方根（）
4、若，则x=y（）
5、若，则（）
二．选择题
1、若m<0,则m的立方根是（）
A、B、-C、+D、
2、如果是6-x的立方根，那么（）
A、x<6B、x=6C、D、x是任意实数
三、填空题
1、若x<0,=,=
2、比较大小：
3、的算术平方根与的立方根的乘积是
4、若，则=
四、求下列各数的立方根．
（1）
（2）（3）（4）
五、能力拓展题。
已知，，（为整数，为正的纯小数），求的平方根。
第7讲平方根和立方根的应用
月日姓名：
【学习目标】
1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；
2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。
【知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：
（1） 区别：
A、根指数不同：
平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
B、被开方的取值范围不同：
平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。
C、 结果不同：
平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。
（2） 联系：
二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意：
2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。
3、比较两个无理数的大小：
（1）＞＞
（2）＞＞或＞
4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【典型例题】
例1、下列说法，正确的有（）
（1） 只有非负数才有平方根和立方根；
（2）如果a有立方根，那么a一定是正数；（3）如果a没有平方根，那么a一定是负数；（4）立方根等于它本身的数是0；
（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A．1个 B2个 C3个 D4
例2、a.由于，则是的立方；是的立方根。
b.若＞0,则;
例3、的相反数是；的绝对值是；的倒数是。
例4、A.若a=,b=-∣－∣，c=,则a、b、c的大小关系是（）.
A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.b＞a＞cD.c＞b＞a
B.比较大小：
；；
例5、多项选择题：
下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（）
A．－﹙－2﹚B．C．D．11.1
例6、如果+1有意义，则x可以取的最小整数为，若有意义，最小值是。
例7、A、解方程
B、若=0，则的立方根是多少？
【经典练习】姓名：
成绩：
一、判断题
（1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根；（）
（2）如果a没有平方根，那么a也没有立方根；（）
（3）如果a有立方根，那么a也有平方根；（）
（4）算术平方根等于它本身的数为0；（）
（5）a的三次方根是负数，a必是负数；（）
（6）=4（）
二、填空题
1、的平方根是_______，的算术平方根是_________，的算术平方根是；
2、的最小值是________，此时a的取值是________。
3、若一个正数的平方根是和，则，这个正数是；
4、当时，有意义；当时，有意义；
5、的相反数是；的倒数是；
三、选择题
1、的算术平方根是2，则（）
A.B.C.D.
2、若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是（）
A.0B.1C.0和1D.-1和1
3、若-a-b＞0，则=（）.
A.-a-bB.C.D.
4、比较大小：
A.若a=,b=-∣－1∣，c=,则a、b、c的大小关系是（）.
A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.b＞a＞cD.c＞b＞a
5、若a<0，则下列各数有平方根的是（）
A.-B.C.D.
四、计算题
1、解方程：
（1）4（x+1）2=8
（2）
2、若＞0，=0成立，则的算术平方根、平方根及立方根分别是多少？
【课后作业】姓名成绩家长签名
一、判断题：
1、下列说法中正确的是（）
A、－4没有立方根 B、1的立方根是±1
C、的立方根是 D、－5的立方根是
2、在下列各式中：
==0.1,=0.1,－=－27,其中正确的个数是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
3、下列说法中，正确的是（）
A、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B、一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C、负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
4、若+有意义，则=______.
二、.判断下列各式是否正确成立.
（1）若｜a｜＞b,则a2＞b2 （）
（2）若＞，则＞，且＞（）
（2）=·（）
三、填空题
1、平方根是它本身的数是____；立方根是其本身的数是____；算术平方根是其本身的数是________。
2、若a＜0，则（）－3=_________.
3、若a2=1，则=_________.
4、π的5次方根是_________.
5、若±，则a是。
6、－0.008的立方根的平方等于_________.
四、解方程（x－1）3=－.
第8讲实数
月日姓名：
【学习目标】
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
理解数轴上的点与实数一一对应关系，并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。
3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。
在探索分类、化简、运算的过程中，获得解决问题的方法和经验。
【知识要点】
1、实数的概念：
有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。
按定义分：
实数可以分为有理数和无理数；整数和分数都是有理数，即有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数
按正负分：
实数可以分为正实数、0、负实数；正实数分为正有理数和正无理数；正有理数分为正整数和正分数。
负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。
注：
（1）对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。
（2）π也是无理数
2、实数的性质（重点）：
有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：
3、比较两个实数的大小：
做差法；平方法；取近似值法；倒数法
在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于负数；正数大于0；负数小于0；两个负数相比较，绝对值大的反而小。
4、实数的四则运算及化简
注：
（1）有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）
（2）化简遵循无理数的化简原则，一直化为最简的为止。
【典型例题】
例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内：
，π，…，…
有理数集合：
无理数集合：
正数集合：
负数集合：
例2、
（1）的相反数是，倒数是，绝对值是;
（2）在数轴上离原点距离是的点表示的数是.
（3）的立方根是，的立方根是，0的立方根是。
正数的立方根是数；负数的立方根是数；0的立方根是。
例3、比较下列各组数的大小：
（1）与
（2）与
（3）与（4）与
例4、计算下列各式
（1）
（2）
（3）（4）
例5、若y=则是多少？
【经典练习】
1、填空题
（1）、在数轴上表示与的点距离最近的整数点表示的数是。
（2）、已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是和，则。
（3）、若，则。
（4）、计算：
=。
★（5）．已知的三边长为，且满足，则的取值范围为.
2、比较下列各组数大小
⑴12⑵⑶
3、已知为实数，且，求
4、已知,且,求的值.
【课后作业】
一、填空题
1、一个的算术平方根是8，则这个的立方根的相反数是.
2、若，则.
3、-的相反数是；绝对值是.
4、化简
（1）=；
（2）=.
5、若互为相反数，互为倒数，则.
6、比较大小：
（1）；
（2）；
7、已知有意义，则x的平方根为。
8、已知，求的值__________。
9、若与互为相反数，则=。
二、解答题
1、已知x、y为实数，且．求的值．
三、计算题
（1）
（2）
（3）
第9讲二次根式的化简
月日姓名：
【学习目标】
1、本节的重难点是的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。
2、能够利用二次根式的性质化简二次根式，且结果为最简二次根式。
3、通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。
【知识要点】
1、二次根式的重要性质：
注1：
式子中中的可以取任意实数，同时注意与的区别。
注2：
中既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等等，总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念：
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念：
几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式
【典型例题】
例1、计算下列各题，并回答以下问题：
（1）；
（2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
（7）； （8）．
1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3、用字母表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？
并用语言叙述你的结论。
例2、填空题
1、当_________时，；
2、当时，，当时，；
3、若，则________；
4、当时，；
5、当a+2<0时，的化简结果是；
6、化为最简二次根式是；
例3、选择题
（1）如果成立，那么（）
（A）x=0（B）x<0（C）x≥
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