初三数学二次函数专题.doc
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二次函数图象与性质
（1）
【学习目标】
1．理解二次函数的定义及解析式的三种形式；
2．了解二次函数图像与字母系数的关系.并巩固二次函数的性质.
3．了解二次函数的平移，能够根据条件确定二次函数的解析式.
【知识梳理】
1．二次函数的定义：
形如的函数叫做二次函数。
2．二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：
，其中a、b、c为常数，．
（2）顶点式：
，其中a、h、k为常数，．
（3）两根式（交点式）：
，其中a≠0，且x1、x2是．
3．二次函数的性质
函数
对称轴
顶点
坐标
开口方向
增减性
y=ax²
1．a＞0时，
二次函数开口向
____；函数有最
_____值
2．a＜0时，
二次函数开口向
_____；函数有最
_____值
1．a＞0时：
⑴当x＜_____时，y随x的增大而_____；
⑵当x＞_____时，y随x的增大而_____；
2．a＜0时：
⑴当x＜_____时，y随x的增大而_____；
⑵当x＞_____时，y随x的增大而_____；
y=ax²+c
y=a（x-h）²
y=a（x-h）²+k
y=ax²+bx+c
4．抛物线的图象与a、b、c之间的关系
a
a＞0
a＜0
开口，
开口.
b
ab＞0
b=0
ab＜0
对称轴在；
对称轴为；
对称轴在.
简单地说：
“左同右异”
c
c＞0
c=0
c＜0
与y轴_____半轴相交；
经过原点 ；
与y轴_____半轴相交．
5．二次函数与一元二次方程的关系
Δ＞0抛物线与x轴；Δ＝0抛物线与x轴；Δ＜0物线与x轴．
6．二次函数图像的平移规律
从到，抓住顶点从（0，0）到（h，k）.
【考点解析】
考点一：
二次函数的性质
例1．（长沙）如图，关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为（1，）；B．对称轴是直线x=1；
C．开口方向向上；D．当x>1时，y随x的增大而减小。
跟踪练习：
1.（2014•新疆）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下B.对称轴是x=﹣1C.顶点坐标是（1，2）D.与x轴有两个交点。
2.（2014•毕节地区）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）
A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小
3.（2014•青岛）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A
B．
C．
D．
考点二：
抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系.
例2．（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2。
其中正确的个数有（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
跟踪练习：
1.（2014•孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；
②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．
1个
B．
第1题图
2个
C．
O
3
－1
x
y
例3题图
3个
D．
4个
例2题图
考点三：
根据条件确定二次函数的解析式.
例3．（广东）已知二次函数的图象如图所示，
它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.
跟踪练习：
1.（2014•温州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EFM与△BFN的面积之比。
2.（2014•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；
3.（2014•浙江宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
考点四：
二次函数图像的平移
例4．（广元）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）
A．y＝3（x－3）2＋3B．y＝3（x－3）2－3
C．y＝3（x＋3）2＋3D．y＝3（x＋3）2－3
跟踪练习：
1.（2014•哈尔滨）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．
y=﹣2（x+1）2﹣1
B．
y﹣2（x+1）2+3
C．
y=﹣2（x﹣1）2+1
D．
y=﹣2（x﹣1）2+3
2.（2014•湖北荆门）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
3.（2014•丽水）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A．
（﹣3，﹣6）
B．
（1，﹣4）
C．
（1，﹣6）
D．
（﹣3，﹣4）
【基础演练】
一.选择题：
1.（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值；B.对称轴是直线x=；
C.当x＜，y随x的增大而减小；D.当﹣1＜x＜2时，y＞0.
2.（2014•广西贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2014年四川资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D．1个
4．（2014年天津市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B． 1 C． 2 D．3
5．（2014•舟山）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．
B．
或
C．
2或
D．
2或﹣或
6．（14·金华）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2014•浙江宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）
A．
（﹣3，7）
B．
（﹣1，7）
C．
（﹣4，10）
D．
（0，10）
8.（2014•菏泽）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）
A．
B．
C．
D．
9.（2014•济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：
若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．
m＜a＜b＜n
B．
a＜m＜n＜b
C．
a＜m＜b＜n
D．
m＜a＜n＜b
10．（2014年山东泰安）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
ABC
二.填空题:
11.（2014•安徽省）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
12．（2014•云南）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．
13．（2014•浙江湖州）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是 ．
14.（2014•株洲）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
15.（2014年江苏南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是 ．
16.（2014•扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．
第16题图
第18题图
第17题图
17．（2014•菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=_______．
18.（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 ．
三．解答题：
19.（2014•福建泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
20.（2014•广西贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是
（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，
求证：
FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
21．（2014年四川资阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
【综合提升】
22．（2014•浙江宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
23.y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：
△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？
（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
13、二次函数的应用
（2）
【学习目标】
1．复习巩固二次函数与一次函数、反比例函数的关系。
2．应用二次函数解决有关的图形面积、销售利润等最值问题。
3．了解与二次函数有关的存在性问题解题思路。
函
数
概念
定义域
数
表示法
数
一次函数
数
一次函数y=其中
数
一次函数的图象是系数与图象的关系：
数
二次函数
数
二次函数y=其中
数
二次函数的图象是系数与图象的关系：
数
反比例函数
数
反比例函数y=其中
数
反比例函数的图象是系数与图象的关系：
数
一次函数性质有：
数
二次函数性质有：
数
反比例函数性质有：
数
【知识梳理】
【考点解析】
例1图
考点一：
二次函数与一次函数、反比例函数的关系
例1：
已知函数（其中）的
y
x
1
1
O
A
y
x
1
-1
O
B
y
x
-1
-1
O
C
1
-1
x
y
O
D
图象如右图所示，则函数的图象可能正确的是（）
考点二：
与二次函数有关的面积问题
例2．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）设矩形的一边AB=xcm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少?
考点三：
与二次函数有关的销售利润中的最值问题
例3．随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具．某商场计划不超过140000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于29000元的利润，A、B两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：
A品牌电动摩托
B品牌电动摩托
进价（元/辆）
4000
3000
售价（元/辆）
5000
3500
设该商场计划购进A品牌电动摩托x辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）该商场购进A品牌电动摩托多少辆时，获利最大？
最大利润是多少？
考点四：
与二次函数有关的存在性问题
O
C
B
A
例4．如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）.
⑴求抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【基础演练】
1．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）
2．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ．
3． 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
18米
苗圃园
墙
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积
最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函
数图象，直接写出x的取值范围.
4．（2014•江苏徐州）某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：
y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？
最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
【综合提升】
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。
若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出点P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。
2．（2014•四川宜宾，第24题，12分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．
3.（2014•四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
初三期数模拟综合题
1．直线与轴交于点C（4,0），与轴交于点B，并与双曲线交于点。
（1）求直线与双曲线的解析式。
（2）连接OA，求的正弦值。
（3）若点D在轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？
若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由。
2.如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？
最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？
若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
3、.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？
请说明理由； （3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（本小题满分9分）
如图，矩形ABCD中，AB∥x轴，AC∥y轴，反比例函数（）的图象过点B，C，直线BC交x轴于点E，交y轴于点F。
（1）若点A的坐标为（1，2），求矩形ABCD的面积；
（2）在
（1）的条件下，判断线段BE与CF的大小关系，并说明理由；
O
A
y
x
B
C
F
D
E
（3）若点A的坐标为（m，n），请直接写出当m，n满足什么关系时，线段CF，CB，BE相等。
5．（本小题满分9分）
如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：
△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇（如图2），使点E落在CD边上的点E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？
请说明理由．
6．（本小题满分9分）
如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？
若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
A
C（1,0）
O
B
x
y
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．
7．（本小题9分）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且（2，3），．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在
（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，为半径且与直线AC相切的圆，若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明
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