第2章1-3节等腰三角形性质与判定复习讲义.doc
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课题
第二章1-3节等腰三角形性质与判定复习
教学目标
1．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。
2、通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
3、学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辨证唯物主义观点．
重点、难点
利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换，例如例2，是本节教学的难点.
考点及考试要求
教学内容
知识瞭望
等腰三角形
一、性质
1.等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）
3.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
二、判定
1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）
2. 在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：
在同一三角形中，等角对等边
三、特殊的等腰三角形——等边三角形
1、定义
三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：
若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）
2、性质
（1）等边三角形的内角都相等，且为60度
（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一） （3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 （4）等边三角形是锐角三角形
3、判定
（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 （4）有两个角等于60度的三角形是等边三角形
【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=·180°+∠A．
【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【分析】
（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．
（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：
PQ：
PC=PA：
PB：
PC=3：
4：
5，∴△PQC是直角三角形．
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．
【考点精练】
一、选择题
1、如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）
A.80°B.90°C.100°D.108°
2、（2009·威海中考）如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.（2009·聊城中考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上
的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）
A．62ºB．38ºC．28ºD．26º
4、（2009·黔东南中考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）
A、30oB、40oC、45oD、36o
5、（2009·武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）
A．70° B．110C．140° D．150°
B
C
O
A
D
6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）
A． B． C． D．
A
D
C
P
B
60°
7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
二、填空题
1.（2009·达州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.
2.（2009·云南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是.（写出一个即可）
3.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．
3、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为。
4、（2007·江西中考）如图，在中，点是上一点，，，则度．
5.（2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使BB=BA，连结AB…按此规律上去，记∠ABB=，∠，…，∠
则⑴=；⑵=。
6.（2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．
7.（2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为
8.（2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．
（第15题图）
9.（2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．
三、解答题
1、（2009·绍兴中考）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
（1）求的度数；
（2）求证：
．
2、（2009·泸州中考）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：
≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
3.如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出剪裁的痕迹.
4.（2011广东株洲，20，6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
5、.如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.
⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）.
⑵选择第⑴小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.
6、（2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥
DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
第6题图
B
A
E
D
F
C
7.（2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？
请说明理由.
（第23题）
（第23题图1）
图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为（如图2），则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，.
求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.
8.（2011浙江绍兴，23，12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
（填“>”,“<”或“=”）.
第25题图2
第25题图1
（2）特例启发，解答题目
解：
题目中，与的大小关系是：
（填“>”,“<”或“=”）.理由如下：
如图2，过点作，交于点.
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）.
9.（2011江苏扬州，23,10分）已知：
如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：
△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
10．（2011重庆綦江，24，10分）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.
（1）求证：
△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5,若BC＝8时，求PQ的长.
11.（2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：
DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，
求证：
ME=BD．
1
12.（2011山东泰安，29，10分）已知：
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：
AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE于，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并说明。
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