初小学一年级的的的数学动点问题例题集doc.docx
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初一年级数学动点问题例题集
1、如图；已知△ABC中；ABAC10厘米；BC8厘米；点D为AB的
中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动；同时；点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等；经过1
秒后；△BPD与△CQP是否全等；请说明理由；
A
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等；当点
Q的运动速度为多少时；能够使△BPD与△CQP全等？
D
Q
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发；点P以
原来的运动速度从点B同时出发；都逆时针沿△ABC三边B
P
C
运动；求经过多长时间点
P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：
（1）①∵t1秒；
∴BP
CQ31
3厘米；
∵AB
10厘米；点
D为AB的中点；
∴BD5厘米．又∵厘米；
∴PC835厘米PCBCBP，BC8；
∴PCBD．
又∵AB
AC；
∴B
C；
∴△BPD≌△CQP．（4分）
②∵vP
vQ；∴BPCQ；
又∵△BPD≌△CQP；B
C；则BPPC
4，CQ
BD5；
t
BP
4
3
3秒；
∴点P；点Q运动的时间
1/23
vQ
CQ
5
15
t
4
4
∴
3
厘米/秒．（7分）
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇；
15x3x
210
由题意；得4
；
80
x
解得
3秒．
80
3
80
∴点P共运动了3
厘米．
∵8022824；
∴点P、点Q在AB边上相遇；
80
∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
（12分）
y
3x6
与坐标轴分别交于A、B两点；动点P、Q同时从O点出
2、直线
4
发；同时到达A点；运动停止．点Q沿线段OA运动；速度为每秒
1个单位长
度；点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒；△OPQ的面积为S；求出S与t之间的函数
关系式；
S
48
5时；求出点P的坐标；并
（3）当
y
直接写出以点O、P、Q
为顶点的平行四边形
B
的第四个顶点M的坐标．
P
解
（1）A（8；0）B（0；6）1分
x
OQA
2/23
（2）
OA
8，OB6
AB
10
8
8
点Q由O到A的时间是1
（秒）
6
10
2
点P的速度是
8
（单位/秒）1分
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时；OQ
t，OP
2t
St2
1分
当P在线段BA上运动（或3
t≤8）时；OQ
t，AP
6
102t162t；
PD
AP
48
6t
如图；作PD
OA于点D；由BO
PD
5
；1分
AB；得
S
1OQ
PD
3t2
24t
1分
2
5
5
（自变量取值范围写对给1分；否则不给分．）
824
P，
（3）
5
5
1分
8
24
12
24
12
，
24
I1
，，M2
5
，，M3
5
5
5
5
5
3
分
3如图；在平面直角坐标系中；直线
l：
y=－2x－8分别与x轴；y轴相交于
A；B两点；点P（0；k）是y轴的负半轴上的一个动点；以P为圆心；3为半径作⊙P.
（1）连结PA；若PA=PB；试判断⊙P与x轴的位置关系；并说明理由；
（2）当k为何值时；以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
解：
（1）⊙.
3/23
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4；0）；与y轴交于B（0；－8）；
∴OA=4；OB=8.
由题意；OP=－k；
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中；k2+42=（8+k）2；
∴k=－3；∴OP等于⊙P的半径；∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C；D两点；连结PC；PD
当圆心P在线段OB上时；作PE⊥CD于E.
13
∵△PCD为正三角形；∴DE=2CD=2；PD=3；
33
∴PE=2.
∵∠AOB=∠PEB=90°；∠ABO=∠PBE；
∴△AOB∽△PEB；
33
AOPE,即4=2
∴ABPB45PB；
315
PB,
∴2
PO
BO
3
15
PB8
2；
∴
3
15
8）
P（0,
2
∴
；
3
15
8
k
2
∴
.
315
当圆心P在线段OB延长线上时；同理可得P（0；－2－8）；
315
∴k=－2－8；
3
15
3
15
∴当k=
2
－8或k=－2
－8时；以⊙P与直线l的两个交点和圆心P
为顶点的三角形是正三角形.
4/23
4如图1；在平面直角坐标系中；点O是坐标原点；四边形ABCO是菱形；
点A的坐标为（－3；4）；
点C在x轴的正半轴上；直线AC交y轴于点M；AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM；如图2；动点P从点A出发；沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动；设△PMB的面积为S（S≠0）；点P的运动时间
为t秒；求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下；当t为何值时；∠MPB与∠BCO互为余角；并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
5/23
B
E
Q
D
APC
图16
5在Rt△ABC中；∠C=90°；AC=3；AB=5．点P从点C出发沿CA以每
秒1个单位长的速度向点A匀速运动；到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；
点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动；DE保持垂直平分PQ；且交PQ于点D；交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发；当点Q到达点B时停止运动；点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
6/23
（1）当t=2时；AP=；点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中；求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中；四边形QBED能否成
为直角梯形？
若能；求t的值．若不能；请说明理由；
（4）当DE经过点C时；请直接写出t的值．
8
解：
（1）1；5；
（2）作QF⊥AC于点F；如图3；AQ=CP=t；∴AP3t．
由△AQF∽△ABC；BC52
32
4；
QF
t
QF
4t
得4
5．∴
5．
S
1（3
t）4t
∴
2
5
；
S
22
6
t
t
即55．
（3）能．
①当DE∥QB时；如图4．
∵DE⊥PQ；∴PQ⊥QB；四边形此时∠AQP=90°．
B
E
Q
D
APC
QBED是直角梯形．图4
AQAP
由△APQ∽△ABC；得ACAB；
t
3
t
9
即3
5
．解得
t
8．
②如图5；当PQ∥BC时；DE⊥BC；四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
AQAP
由△AQP∽△ABC；得ABAC；
t
3
t
15
即5
3
．解得
t
8．
545
tt
（4）2或14．
7/23
①点P由C向A运动；DE经过点C．
B
QG
D
连接QC；作QG⊥BC于点G；如图6．
AP
C（E）
3
2
4
2
图6
B
t）]
[4
PCt；QC
2
QG
2
CG
2
[（5
（5
t）]
5
5
．
QG
；得t
2
3
2
4
2
；解得t
5
由PC2
QC2
[
5
（5
t）]
[4
5
（5
t）]
2．
D
②点P由A向C运动；DE经过点C；如图7．
A
P
C（E）
（6t）2
[3
（5t）]2
[4
4（5t）]2
t
45
5
5
；
14】
6如图；在
Rt△ABC
中；
ACB90°，B60°
；
图
7
l
EC
O
BC
2．点O是AC的中点；过点O的直线l从与AC重合
A
D
B
的位置开始；绕点O作逆时针旋转；交AB边于点D．过
点C作CE∥AB交直线l于点E；设直线l的旋转角为．
C
O
（1）①当
度时；四边形EDBC是等腰A
（备用图）
B
梯形；此时AD的长为
；
②当
度时；四边形EDBC是直角梯形；此时AD的长
为
；
（2）当
90°
EDBC
是否为菱形；并说明理由．
时；判断四边形
解
（1）①30；1；②60；1.5；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
分
（2）当∠α=900时；四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900；∴BC//ED.
∵CE//AB；∴四边形EDBC是平行四边
形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
在Rt△ABC中；∠ACB=900；∠B=600；BC=2；∴∠A=300.
∴AB=4；AC=23.
∴
1
AC
3.
AO=2=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
8/23
在Rt△AOD中；∠A=300；∴AD=2.∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形；
∴四边形EDBC是菱形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
7如图；在梯形ABCD中；AD∥BC，AD3，DC
5，AB4
2，∠B45．
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的
A
D
速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD
以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的
N
B
C
M
时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时；求t的值．
（3）试探究：
t为何值时；△MNC为等腰三角形．
解：
（1）如图①；过A、D分别作AKBC于K；DHBC于H；则四边
形ADHK是矩形
∴KH
AD3．
1分
在Rt△ABK中；
AK
ABsin45
4
2．2
4
2
BK
ABcos45
42
2
4
2
2分
在Rt△CDH中；由勾股定理得；HC
52
42
3
∴BC
BKKH
HC
4
33
10
3分
A
D
A
D
N
B
H
CB
C
K
G
M
（图①）
（图②）
9/23
（2）如图②；过D作DG∥AB交BC于G点；则四边形ADGB是平行四边
形
∵MN∥AB
∴MN∥DG
∴BGAD3
∴GC10374分
由题意知；当M、N运动到t秒时；CNt，CM102t．
∵DG∥MN
∴∠NMC∠DGC
又∠C∠C
∴△MNC∽△GDC
CN
CM
∴CD
CG5分
t102t
即57
t
50
17
6分
解得；
（3）分三种情况讨论：
①当NC
MC时；如图③；即t102t
10
t
7分
∴3
A
D
A
D
N
N
B
C
B
M
HE
C
M
（图③）
（图④）
10/23
②当MN
NC时；如图④；过N作NE
MC于E
解法一：
EC
1MC
1102t5t
由等腰三角形三线合一性质得
2
2
cosc
EC
5t
NC
t
在Rt△CEN中；
CH
3
cosc
又在Rt△DHC中；
CD
5
5t
3
∴t
5
25
t
88分
解得
解法二：
∵∠C
∠C，DHC
NEC
90
∴△NEC∽△DHC
NC
EC
∴DC
HC
t5t
即53
25
t
8分
∴8
③当MN
MC时；如图⑤；过M作MF
FC
1NC
1t
CN于F点.
2
2
解法一：
（方法同②中解法一）
FC
1t
3
cosC
2
MC
102t
5
AD
60
N
t
F
17
解得
C
B
解法二：
HM
∵∠C
∠C，MFCDHC90
（图⑤）
11/23
∴△MFC∽△DHC
FCMC
∴HCDC
1
t
10
2t
2
即3
5
t
60
17
∴
t
10
25
60
t
8或
t
综上所述；当
3、
17时；△MNC为等腰三角形9分
8如图1；在等腰梯形ABCD中；AD∥BC；E是AB的中点；过点E作
EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6；∠B60.
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点；过P作PMEF交BC于点M；过M
作MN∥AB交折线ADC于点N；连结PN；设EPx.
①当点N在线段AD上时（如图2）；△PMN的形状是否发生改变？
若不变；
求出△PMN的周长；若改变；请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3）；是否存在点P；使△PMN为等腰三角形？
若存在；请求出所有满足要求的x的值；若不存在；请说明理由.
12/23
N
ADADAD
N
EFEPFEPF
B
CB
CB
C
图1
M
M
图2
图3
A
D
（第25题）A
D
EFEF
B
C
B
C
图4（备用
图5（备用
解
（1）如图1；过点E作EGBC于点G．1分
∵E为AB的中点；
BE1AB2．
∴2
在
Rt△EBG
中；
∠B60，∠BEG
30．
分
∴
2
AD
EF
BCG
图1
BG
1BE1，EG
2212
3．
∴
2
即点E到BC的距离为
3．3分
（2）①当点N在线段AD上运动时；△PMN的形状不发生改变．
∵
PM
EF，EG
EF，PM∥EG．
∴
∵
EF∥BC，EPGM
；
PM
EG
3．
∴
同理MN
AB4．4分
如图2；过点P作PH
MN于H；∵MN∥AB，
∴∠NMC∠B
60，∠PMH
30．
N
D
A
PH
1PM
3．
P
F
E
∴
2
2
H
B
GM
C
图2
13/23
MHPMcos303．
∴2
NHMNMH4
3
5．
则
2
2
2
2
PN
NH2
PH2
5
3
7．
在Rt△PNH中；
2
2
∴△PMN的周长=PM
PN
MN3
7
4．
6分
②当点N在线段DC上运动时；△PMN的形状发生改变；但△MNC恒为等边三角形．
当PMPN时；如图3；作PRMN于R；则MRNR．
3
MR．
类似①；2
∴MN2MR3．7分
∵△MNC是等边三角形；∴MC
MN
3．
此时；x
EP
GM
BC
BG
MC
61
3
2．8分
A
D
A
D
A
D
P
N
P
E
F
E
F
E
F（P
R
N
N
B
G
M
C
B
M
C
B
C
G
G
M
图3
图4
图5
当MPMN时；如图4；这时MC
MN
MP
3．
此时；x
EP
GM
61
3
5
3．
当NPNM时；如图5；∠NPM
∠PMN
30．
则
∠PMN
120，∠MNC
60，
又
∴∠PNM
∠MNC
180．
14/23
因此点P与F重合；△PMC为直角三角形．
∴MCPMtan301．
此时；xEP
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