初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解).doc
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初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
写出结果．
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=
=每组之间还有公因式！
=
思考：
此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式=原式=
==
==
练习：
分解因式1、2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=
=
=
例4、分解因式：
解：
原式=
=
=
注意这两个例题的区别！
练习：
分解因式3、4、
综合练习：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
12
解：
=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：
原式=1-1
=1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
（2）（3）
练习6、分解因式
（1）
（2）（3）
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
（1）
（2）
（3）
分解结果：
=
例7、分解因式：
分析：
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：
=
练习7、分解因式：
（1）
（2）
（3）（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：
将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
=
=
练习8、分解因式
（1）
（2）（3）
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
解：
原式=解：
原式=
练习9、分解因式：
（1）
（2）
综合练习10、
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：
分解因式：
五、主元法.
例11、分解因式：
5-2
解法一：
以为主元2-1
解：
原式=（-5）+（-4）=-9
=1-（5y-2）
=1（2y-1）
=-（5y-2）+（2y-1）=-（3y-1）
解法二：
以为主元1-1
解：
原式=12
=-1+2=1
=2（x-1）
=5-（x+2）
=5（x-1）-2（x+2）=（3x-9）
练习11、分解因式
（1）
（2）
（3）（4）
六、双十字相乘法。
定义：
双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。
条件：
（1），，
（2），，
即：
，，
则
例12、分解因式
（1）
（2）
解：
（1）
应用双十字相乘法：
，，
∴原式=
（2）
应用双十字相乘法：
，，
∴原式=
练习12、分解因式
（1）
（2）
七、换元法。
例13、分解因式
（1）
（2）
解：
（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式
（1）
（2）（3）
例14、分解因式
（1）
观察：
此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：
原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、
（1）
（2）
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
==
==
==
==
（2）
解：
原式=
=
=
=
练习15、分解因式
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
九、待定系数法。
例16、分解因式
分析：
原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：
设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、
（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：
前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：
设=
则=
比较对应的系数可得：
，解得：
或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：
是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：
设=
则=
∴，解得，
∴=21
练习17、
（1）分解因式
（2）分解因式
（3）已知：
能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
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