矩形经典例题.doc

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（一）计算

　　1．已知矩形的对角线长为1，两条相邻边之和为m，求矩形的面积．

　　解析：

依题设画出示意图，由矩形性质：

　　　　　①

　　　　　又②

　　　　　∴由有

　　　　　．

　　评述1矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°，稍加连结，则会出现Rt△，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算．

　　评述2此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算，而去解方程组．

　　2．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE=1，EF=2，求矩形面积．

　　解析：

依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？

深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=1，BD=4→连结AC交BD于O，则易知：

OA=OB=2，又有BE=OE=1，又∵AE⊥BO，可知△ABO为正三角形，∴AB=OB=2，，∴

　　3．在矩形ABCD中，两条对角线小于0，DE平分∠ADC，E点在BC上，∠EDO=15°．

　　　　　　求∠COB，∠AOE的度数．

　　解析：

依题设，画出示意图

　　　　　由DE平分∠ADC，知∠EDC=45°，又∵∠EDO=15°

　　　　　又由矩形ABCD知OD=OC

　　　　　∴△ODC为正三角形，即OC=OD=CD

　　　　　∴∠DOC=60°，∴∠COB=120°

　　　　　∵∠EDC=45°，∠DCE=90°

　　　　　∴CE=CD

　　　　　∴CO=CE

　　　　　进而可知∠COE=75°

　　　　　∴∠AOE=105°

　　评述：

学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法．

（二）特殊关系论证

　　3．已知：

如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系．

　　解析：

结合图示可以猜想AF⊥CF．

　　　　　证明两线垂直，我们都有过什么想法？

盘点盘点：

　　　　　　　　　　　，　　……　　→

　　法一：

连结BF，因∠BFE=90°，证∠AFC=∠BFE进而考虑证△AFC≌△BFE

　　提示：

因CF为Rt△DCE斜边上中线，故CF=EF=FD

　　　　　易证△FAD≌△FBC，有FB=FA

　　　　　进而可证明△AFC≌△BFE（SSS）

　　　　　又由BF为等腰△BED底边上中线有BF⊥DE．所以AF⊥CF

　　法二：

“倍长中线”

　　　　　延长AF交BC延长线于G，

　　　　　连结AC，易证△ADF≌△GEF，AD=GE，BC+CE=GE＋ＣＥ，即ＢＥ＝ＣＧ，

　　　　　易证△CAG为等腰三角形CA=CG，F为底边AG中点．CF为AG边上的高.

　　　　　另：

对称地思考，同法可延长CF交AD延长线于H

　　　　　证△AＣＨ为等腰三角形，利用另一方向的三线合一．

　　法三：

利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半，则该三角形为Rt△”．

　　　　　连结AC，设AC交BD于O，连结FO，易知FO为△DEB中位线

　　　　　从而

　　　　　又BE=BD=AC，进而有OF=OA=OC，

　　　　　利用等边对等角和三角形内角和定理易证∠AFC=90°

　　评述：

学习矩形后一个新性质很有用，就是：

　　4．已知：

如图，矩形ABCD中，CF⊥BD，AE平分∠BAD和FC的延长线交于E点．求证：

AC=CE．

　　解析：

证AC=CE，两线共端点居于△CAE中，可考虑用“等角对等边”证∠1=∠E．

　　　　　考虑此处可能需倒许多角，设∠1=，尽可能多用表示相关的角．

　　法一：

依题设可知∠OAB=∠OBA-∠BAE=∠BGA=45°

　　　　　故有∠OAB=∠OBA=45°+

　　　　　∴∠FOC=∠AOB=90°-2而∠FCO=90°-∠FOC

　　　　　∴∠FCO=2又∠FCO=∠1+∠E．

　　　　　∴∠E=．

　　法二：

由CF⊥BD可知∠BCF=∠BDC=∠OBA=45°+

　　　　　又∠CGE=45°，∠BCF=∠CGE+∠E，所以可知∠E=．

　　评述：

1．此题还有许多可以倒角的方法；2．这里亦可通过延长DC交GE于H，通过证△CHE≌△CGA来解决问题，有兴趣均可一试；3．特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联，学习中要注意多发散多思考体会。

　　5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是多少？

　　解析：

易知四边形PECF为矩形，故EF=CP．

　　　　　CP最小，则EF最小，过C作CP⊥AB于P．

　　　　　CP的长即为所求．易知，．

　　6．如图，P是矩形内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长．

　　解析：

审图后，似乎这三条已知的线段与所求之间没有关联，故需变换位置或添辅助线．

　　法一：

沿AD平移△PAB到，连结，可知四边形中两条对角线互相垂直．

　　　　　故有（能知道为什么吗？

）

　　　　　进而解得．

　　法二：

过P作直线EF⊥AD交AD于E交BC于F，可设AE=x，进而用x表示PE．PF、FC，

　　　　　再由Rt△PED布列勾股方法得解．

（三）折叠问题

　　7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形对角BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___．

　　解析：

该阴影三角形面积都可怎么算→较简捷算法有：

．…

　　　　　无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长．

　　　　　依题设可证明△ABF≌△EDF

　　　　　从而AF=FE，BF=FD．

　　　　　设AF=x，则BF=4-x，

　　　　　由，有

　　　　　∴

　　评述：

折叠问题的实质是轴对称，解题时首先要知道哪些量对应相等．

　　8．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点B、D重合，求折痕EF的长．

　　解析：

计算EF，目前在几何图形中计算长度我们都有什么方法？

→“构建Rt△，或利用现成Rt△”，

　　　　　利用勾股定理认真落实题设条件，可知，EF垂直平分BD，进而再观察。

　　　　　不难发现四边形BFDE是菱形（你能证明么？

试试！

）

　　　　　故有Rt△BEO，，．

　　　　　依题设，同于上例设，则

　　　　　由有，

　　　　　∴

　　　　　∴．