第八章-二元一次方程组讲义.docx

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二元一次方程组讲义

二元一次方程组讲义

一、二元一次方程的概念：

1、二元一次方程的定义：

含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为零的整式方程；

注：

满足4个条件：

①含有两个未知数，②未知数的最高次数为1；

③未知数的系数不为零④整式方程（分母中不含字母）

2、一般形式：

ax+by+c=0（）

例1、

（1）已知是关于x，y的二元一次方程，则a=b=

（2）若=1是关于的二元一次方程，则=；=.

（3）若

二、二元一次方程组：

1、定义：

由几个一次方程组成，并且共含有2个未知数的方程

注：

①方程组中有且仅有2个未知数，

②每个方程必须为整式方程（分母中不含字母）

③不要求每个方程都要含有2个未知数；

④不要求必须由2个方程组成；

例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是.

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）.；（9）

例2、若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是．

2、二元一次方程（组）的解

1、若是二元一次方程的一个解，则.

2、方程组和同解，求的值。

3、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为.

4、已知是二元一次方程组的解，则的值为.

.

三：

多元一次方程（组）的解法

方法：

代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法。

1）代入消元法：

由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

解下列方程组

（1）

（2）

（3）4x－y=5①

2x＋4y=24②（4）

2）加减消元法：

当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

①②

例题用加减法解方程组

想一想：

本题如果用加减法消去x该怎么办？

把①×_________，②×__________即可。

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

3）整体思想：

例1、解下列方程组：

（1）；

（2）.

例2、解下列方程组：

（1）；

（2）

4）换元法：

例1已知方程组的解是，求方程组的解。

例2、已知方程组：

的解是：

，则方程组：

的解是.

例3

题型四：

模糊以及抄错题问题

例1、小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程的系数和第二个方程的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？

例2、甲、乙两位同学一起解方程组甲正确地解得乙仅因抄错了题中的，解得求原方程组中的值．

题型五：

由实际问题抽象出二元一次方程组的问题

例1、（2011•泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲．乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种各买多少件？

该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可列方程.

A、B、C、D、

例2、（2010•丹东）某校春季运动会比赛中，八年级

（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：

（1）班与（5）班得分比为6：

5；乙同学说：

（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设

（1）班得x分，（5）班得分，根据题意所列的方程组应为.

A、B、C、D、

例6、（2010•长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包个，五彩绳个，根据题意，下面列出的方程组正确的是.

A、B、C、D、

例7、（2010•巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km．一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km/h，km/h，则下列方程组正确的是.

A、B、C、D

例8、（2008•株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：

“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为只，兔为只，则所列方程组正确的是.

A、B、C、D、

例9、（2008•台州）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是.

A、B、C、D、

例10、“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为，乙数为，则列出方程组：

（1）；

（2）；（3）；（4）中，其中正确的有。

A、1组B、2组C、3组D、4组

例12、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，则可列方程组为.

题型七：

方程及方程组的应用问题

1）工作量问题

2）思路导航：

工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.

基本等量关系为：

工作量＝工作效率×工作时间；

例1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10％，乙种机器产量要比第一季度增产20％．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？

例2、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

例3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。

后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。

乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

行程问题

思路导航：

行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：

路程＝速度×时间；

例1、某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.

例2、通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。

求通讯员到达某地的路程是多少千米？

和原定的时间为多少小时？

例3.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.

3）分配问题

思路导航：

这类问题要搞清资源的变化情况

例1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：

用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？

例2、某家具厂生产一种方桌，设计时的木材可做50个桌面或做300条桌腿。

现有的木材，求怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，可使生产的桌面、桌腿刚好配套，并指出生产多少张方桌（1张方桌有一个桌面，4条桌腿）.

通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。

求通讯员到达某地的路程是多少千米？

和原定的时间为多少小时？

例3、某服装厂要生产一批服装，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？

共能生产多少套？

4）利率问题

思想导航：

储蓄问题中基本量之间的关系：

，

利息=本金利率期数，利率=.

例1、小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

例2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育储蓄金10000元，甲种形式年利率为，乙种形式年利率为,一年后，这名同学得到本息和共10242.5元，那么该同学的父母为其存储的甲、乙两种形式的教育储蓄金各为多少元？

5）盈亏问题

例1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。

则商贩在这次买卖中盈亏了多少？

例2、新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，为了发展农业科技，乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利，乙种书籍亏本，试问该书店一天共盈利（亏本）多少元？

6）数字问题

例1、一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是多少？

例2、一个两位数，十位上数字是个位上数字的两倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27，求原两位数.

例3、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？

7）和、差、倍、分问题

思路导航：

基本等量关系为：

（和＋差）÷2＝大数；（和－差）÷2＝小数；

和倍问题：

和÷（倍数+1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数）

差倍问题：

差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或小数＋差＝大数）

例1、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。

已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金鱼多少条？

例2、有两筐苹果，如果从第一筐拿出9个放到第二筐，两筐苹果个数相等；如果从第二筐拿出12个放到第一筐，则第一筐苹果的个数等于第二筐的2倍。

原来每筐各有几个苹果？

例3、在读书活动中，某校将一批书按以下原则分给各班：

第一班取走100本，又取走余下的十分之一：

第二班取走200本，又取走余下的十分之一...以此类推，最后全部书被各班取走，而且各班所得的书相等，问共多少本书，班数是多少?

8）年龄问题

例1、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

例2、甲乙两人在聊天，甲对乙说：

"当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。

”乙对甲说：

“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。

”你能算出他们两人各几岁吗？

例1

9）几何问题

例1小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请

你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（　　）

A、106cmB、110cmC、114cmD、116cm

例2、用6块相同的长方形地砖拼成一个矩形，如图所示，

例2

那么每个长方形地砖的面积是．

10）航行问题

例1、甲乙两港间的水路长280千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水14小时到达。

从乙港返回甲港，逆水20小时到达。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。

例2、一只小船往返于长江上的AB两地之间，从A到B需要6小时，从B到A需要8小时，一个木排从A到B需要多长时间？

例3、某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。

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