第七章 二元一次方程组专题训练.docx

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第七章二元一次方程组专题训练

第七章二元一次方程组

一单元知识梳理

1.二元一次方程:

通过化简后,只有未知数,并且所含未知数的项的次数都是的方程,叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解:

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做。

3.二元一次方程组:

共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，

叫做。

4.二元一次方程组的解:

二元一次方程组中各个方程的,叫做二元一次方程组的解.

5. 解二元一次方程组的基本思想是_________，即将“二元一次方程组”转化为“一元一次方程”.常用方法有和。

6.在二元一次方程组中，由一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做___________，简称_________.

7.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做_______________，简称___________.

8.列二元一次方程解决实际问题的一般步骤：

审：

审清题目中的等量关系．

设：

设未知数．

列：

根据等量关系，列出方程组．

解：

解方程组，求出未知数．

检验：

所求出未知数是否符合题意，

答：

写出答案．

9.一次方程与一次函数：

以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都是对应的二元一次方程的解。

10.二元一次方程组和一次函数的图象的关系：

方程组的解是对应的两条直线的点的坐标；两条直线的交点的坐标是对应的方程组的解

二专题训练

题型一：

代入法解方程组

例1：

方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（　　）

A．x=0，y=-1B．x=0，y=7

C．x=1，y=5D．x=2，y=3

分析：

此题要求公共解，实质上是解二元一次方程组

解答：

解:

由方程①可得：

y=2x-1

将

代入②：

2x+2x-1=7，

解之得：

x=2，将其代入任何一个方程可以求得y=3

则该方程组的公共解为答案选D

例2：

解方程组：

分析：

观察两个方程中，方程②中y的系数为1，所以可以变形为y=13-2x，然后再代入方程①。

解答：

解：

由方程②可得y=13-2x

将

代入②：

4x-3（13-2x）=11

解之得：

x=5，将其代入相对简单的方程②可以求得y=3

∴方程组的解为

例3：

若

与

是同类项，则m、n值分别为（　　）

A．1，2B．2，1C．1，1D．1，3

分析：

本题顺带考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关．．

解答：

∵

与

是同类项，

∴可得方程组：

，

用代入法可以解得：

．

故选A．

规律性小结：

1.先观察方程组中是否有系数为1的未知项，若有，将该方程变形为x=？

或者y=？

的样子，然后代入另一个方程中，从而起到消元的作用，化二元一次方程组为一元一次方程。

2.若系数不为1，但是化为1时不复杂的，也可以采用代入消元法。

题型二：

加减法解方程组

例4:

分析:

 经观察发现，

（1）和

（2）中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“减法消元”．

解答：

解:

由

（1）

（2），得12y=36，所以y=3．

把y=3代入任意方程可以解得：

所以

例5、解方程组：

分析:

 经观察发现，

（1）和

（2）中y的系数互为相反数，若将两方程相加，便可消去y，只剩关于x的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加法消元”．

解答：

解:

（1）+

（2）得：

5x=10所以x=2．

把x=2代入

（2），得：

2x2–5y=-11解得y=3

∴

例6

分析 方程组中，相同未知数的系数没有相同的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12（4与6的最小公倍数），然后将两个方程相加便消去了y．

解：

（1）×3，得9x+12y=48                                               （3）

（2）×2，得10x-12y=66                                                      （4）

（3）+（4），得19x=114，所以x=6．把x=6代入

（1），得

3×6+4y=16，4y=-2，

题型三：

解方程组提高性习题

例7:

分析 本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的

（1）和

（2）都同解．这样，就使问题变得比较简单了．

解：

（1）+

（2），得100x+100y=200，所以

x+y=2                             （3）

解这个方程组．由（3），得x=2y                              （4）

把（4）代入

（1），得53（2y）+47y=112，

10653y+47y=112，

6y=6，

所以y=1．

例8 已知x+2y=2x+y+1=7xy，求2xy的值．

分析 :

已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决．

解答:

解：

已知条件可转化为

整理这个方程组，得

解这个方程组．由（3），得x=y1            （5）

把（5）代入（4），得5（y1）-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以

y=2．

把y=2代入（3），得x-2+1=0，所以

x=1．

2x-y=0．

规律性小结：

1.若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；

2.若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；

3.若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转4.化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元；

5.在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号；

6.方程需要乘某个数时请务必每一项都要乘于该数，切勿遗漏。

题型四:

例9:

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

　　分析：

画直线型示意图理解题意：

（1）这里有两个未知数：

①汽车的行程；②拖拉机的行程.

（2）有两个等量关系：

①相向而行：

汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;

②同向而行：

汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

解答:

解：

设汽车的速度为每小时行

千米，拖拉机的速度为每小时

千米.

根据题意，列方程组

解这个方程组，得:

.

　　答：

汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

行程问题规律性小结：

（1）根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

（2）追击问题：

追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；

（3）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程。

（4）几个公式”

航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

　　　　　③船的顺水速度－船的逆水速度＝2×水速。

注意：

飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

例10:

一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

分析：

由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．

解答:

解:

设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得

解得：

 答：

甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件

工程问题规律性小结：

常用公式:

工作效率×工作时间=工作量.

例11:

一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：

商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.

解答:

解:

由题意可得方程组

，

解得

，

因此，此商品定价为200元．

商品销售利润问题规律性小结：

几个公式:

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）:

（3）利润＝成本（进价）×利润率；

利润率是相对于进价而言的，特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

例12:

小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

　　分析：

设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

　　解答：

解:

设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：

，

解得：

答：

存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

储蓄问题规律性小结：

我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

（2）基本关系式

　①利息＝本金×利率×期数

　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×（1－利息税率）

⑤年利率＝月利率×12

例13:

某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：

要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：

每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．

解答:

解:

设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

解之得:

．

答:

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

配套问题规律性小结：

解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

“二合一”问题：

如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:

b，要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a:

b.

基本等量关系是：

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

例14:

两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

　　分析：

设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

　　问题1：

在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：

100x＋y

　　问题2：

在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：

100y＋x

　　解答:

解：

设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

依题意可得：

解得：

　　答：

这两个两位数分别为45，23.

数字问题规律性小结：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：

两位数=十位数字

10+个位数字

例15:

如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

　　分析：

初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。

解答:

解：

设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：

答：

每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。

几何问题规律性小结：

几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。

列二元一次方程解应用题规律方法指导

1．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

2．列方程组解应用题的一般步骤：

⑴设未知数（可直接设元，也可间接设元），⑵根据题中相等关系，列出方程组，⑶解所列方程组，并检验解的正确性，⑷写出答案.

题型五：

二元一次方程组与一次函数综合

例16:

选择题

下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y=2的解的是（　　）

．

．

．

．

ABCD

分析：

根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．

解答：

解：

∵2x﹣y=2，

∴y=2x﹣2，

∴当x=0，y=﹣2；当y=0，x=1，

∴一次函数y=2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），

即可得出选项B符合要求，

故选：

B．

例17．如图，一次函数y=k1x+b1的图象

l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，

则方程组

的解是（　　）

A．

．

B

C．

D．

分析：

根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．

解答：

解：

∵由图象可知：

一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是

（﹣2，3），

∴方程组

的解是

，

故选A．

例18:

小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2，如图所示，他解的这个方程组是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析：

两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．

解答：

解：

由图可知：

直线l1过（2，﹣2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：

y=﹣2x+2；

直线l2过（﹣2，0），（2，﹣2），因此直线l2的函数解析式为：

y=﹣

x﹣1；

因此所求的二元一次方程组为

；

故选D

例19:

如图，直线l1：

y=x+1与直线l2：

y=mx+n相交于点P（1，b）．

（1）求b的值；

（2）不解关于x，y的方程组，

，请你直接写出它的解；

（3）直线l3：

y=nx+m是否也经过点P？

请说明理由．　经过　．

分析:

（1）将P（1，b）代入y=x+1即可求出b的值；

（2）交点P的坐标即为方程组

的解；

（3）将P点坐标代入y=nx+m，若等式成立，则点P在函数图象上，否则不在函数图象上．

解答：

解：

（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2；

（2）由于P点坐标为（1，2），所以

．

（3）将P（1，2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2；

将x=1代入y=nx+m得y=m+n，由于m+n=2，所以y=2，故P（1，2）也在y=nx+m上．

规律性小结：

此题综合性较强，考查了经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标、函数图象交点坐标为相应函数解析式组成的方程组的解等知识，难度适中，是一道好题．

例20:

在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）．

（1）求a的值；

（2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？

（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？

分析：

（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P点坐标代入可求出a的值；

（2）利用待定系数法确定L2得解析式，由于P（﹣2，a）是L1与L2的交点，所以点

（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组

所得；

（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式计算．

解答：

解：

（1）∵直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），

∴

解得：

，

∴直线l1的解析式为：

y=2x﹣1，

把P（﹣2，a）代入y=2x﹣1得：

a=2×（﹣2）﹣1=﹣5；

（2）设L2的解析式为y=kx，

把P（﹣2，﹣5）代入得﹣5=﹣2k，解得k=

，

所以L2的解析式为y=

x，

所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组

所得；

（3）对于y=2x﹣1，令x=0，解得y=﹣1，

则A点坐标为（﹣1，0）

所以S△APO=

×5×1=

．

规律性小结：

1.方程组的解是对应的两条直线的点的坐标

2.两条直线的交点的坐标是对应的方程组的解

3.一次函数与一元一次方程的关系：

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．