二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题.doc
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二次函数与一元二次方程教学案
二次函数与一元二次方程之间的联系
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
例：
二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x轴有无交点?
若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由:
⑵根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
总结：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与
轴交点的.
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：
（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有个交点
0，方程有的实数根是.
与轴有个交点
这个交点是点
0，方程有的实数根是.
与轴有个交点
0，方程实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是.
经典例题讲解
【例1】
已知：
关于的方程．
⑴求证：
取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数的图象关于轴对称．
①求二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：
在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。
事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。
根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。
于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：
（1）分两种情况：
当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）
∴当，原方程有实数根.
当时，原方程为关于的一元二次方程，
∵.
∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？
再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，
∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）
∴.
∴抛物线的解析式为.
②∵，（判断大小直接做差）
∴（当且仅当时，等号成立）.
（3）由②知，当时，.
∴、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）
∵对于的同一个值，，
∴的图象必经过.
又∵经过，
∴.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设.
∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，
∴，
∴.
又根据、的图象可得，
∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴.
∴.
而.
只有，解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式，比较简单。
值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得
解得
解得
当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由题意得
解得（舍）（始终牢记二次项系数不为0）
（3）抛物线的对称轴是
由题意得（关于对称轴对称的点的性质要掌握）
与抛物线有且只有一个交点（这种情况考试中容易遗漏）
另设过点的直线（）
把代入，得，
整理得
有且只有一个交点，
解得
综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，
【例3】已知P（）和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
【例4】
已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在
（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：
当直线
与此图象有两个公共点时，的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
解：
（1）由题意得，．
∴．
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
A
O
x
y
8
6
4
2
2
4
B
（3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时，可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
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